Le isometrie dei due modelli

Nello spazio-tempo di Minkowski tridimensionale, le isometrie che che lasciano fissa l'origine (le analoghe delle rotazioni in una metrica euclidea) sono le trasformazioni di Lorentz, cioé quelle trasformazioni determinate dalle matrici $\Lambda^i_j$ tali che $\eta_{ij}=\Lambda^i_h\Lambda^j_k\eta_{hk}$, dove $\eta_{ij}$ é la matrice associata alla metrica (13) nelle coordinate $(t,x,y)$. Le superfici invarianti per trasformazioni di Lorentz sono le superfici di equazione $t^2-x^2-y^2=k\in\Re$. In particolare per $k=1$, si ottiene l'iperboloide $t^2-x^2-y^2=1$, la cui falda superiore ($t>0$) é il modello di Minkowski visto precedentemente. Escludendo le trasformazioni non-ortocrone ( $\Lambda^0_0<0$) che mandano la falda superiore dell'iperboloide nella falda inferiore e viceversa, il sottogruppo delle trasformazioni ortocrone ( $\Lambda^0_0>0$) é un gruppo di isometrie per la metrica (15) del modello di Minkowski. Si puó dimostrare che, viceversa ogni trasformazione che lascia invariata la falda $t>0$ dell'iperboloide $t^2-x^2-y^2=1$ deve essere una trasformazione di Lorentz ortocrona.²

Poiché le trasformazioni di Lorentz ortocrone agiscono transitivamente sul modello di Minkowski, esse sono isometrie su quest'ultimo e vengono proiettate tramite le isometrie (16) o (17) in isometrie sul disco di Poincaré.

Utilizzando le conclusioni precedenti, determiniamo l'espressione analitica di tali isometrie sul disco di Poincaré.

A tal fine, consideriamo, il sottogruppo $L_0$ delle trasformazioni di Lorentz ortocrone e pari: $det \Vert\Lambda^i_j\Vert=1$. Tali trasformazioni verranno chiamate proprie e resta inteso che, nel seguito, anche se non espressamente specificato, verranno considerate solo trasformazioni proprie. Le trasformazioni dispari sono ottenute componendo quelle pari con un'inversione di uno degli assi spaziali, ció dá luogo a delle riflessioni.

Denotiamo con $(x,y)$ le coordinate euclidee ($x^2+y^2<1$) dei punti di $D$ e con $(\bar{t},\bar{x},\bar{y})$, le coordinate minkowskiane ( $\bar{t}^2-\bar{x}^2-\bar{y}^2=1$) dei punti di $H$. La trasformazione (16) in tali coordinate si scrive

$$\bar{t}=\frac{1+\rho^2}{1-\rho^2}, \quad \bar{x}=\frac{2x}{1-\rho^2}, \quad \bar{y}=\frac{2y}{1-\rho^2}, \quad \hbox{con} \quad \rho^2=x^2+y^2,$$ (19)

la quale a sua volta si inverte facilmente:

$$x=\frac{\bar{x}}{1+\bar{t}}, \qquad y=\frac{\bar{y}}{1+\bar{t}}.$$ (20)

La piú generale trasformazione di Lorentz propria in $3$ dimensioni é data dalla composizione tra rotazioni di asse $\vec{t}$ e trasformazioni speciali di Lorentz, cioé trasformazioni spazio-temporali che lasciano fisso un asse spaziale passante per l'origine. Denotiamo con $S_y(\lambda)$ con $\lambda\in\Re$, la trasformazione speciale

$$\bar{t'}=\cosh\lambda\;\bar{t}+\sinh\lambda\;\bar{x}=\gamma(\bar{t}-\beta\bar{x})$$

$$\bar{x'}=\sinh\lambda\;\bar{t}+\cosh\lambda\;\bar{x}=\gamma(-\beta\bar{t}+\bar{x})$$

$$\bar{y'}=\bar{y}$$

dove $\gamma=\cosh\lambda$ e $\beta=-\tanh\lambda$³. Per semplificare i calcoli successivi, la trasformazione precedente non verrá espressa in termine dei piú usati in fisica, parametri $\gamma$ e $\beta$, ma in termine del parametro $\sigma=\tanh\frac{\lambda}{2}$ dove $\vert\sigma\vert<1$. In particolare, si trova:

$$\sinh\lambda=2\frac{\sinh\frac{\lambda}{2}\cosh\frac{\lambda}{2}}... ...lambda=\sqrt{1+\frac{4\sigma^2}{(1-\sigma^2)^2}}=\frac{1+\sigma^2}{1-\sigma^2}.$$

Cosí la trasformazione precedente é anche espressa nel seguente modo:

$$\bar{t'}=\frac{1+\sigma^2}{1-\sigma^2}\;\bar{t}+\frac{2\sigma}{1-\sigma^2}\;\bar{x}$$

$$\bar{x'}=+\frac{2\sigma}{1-\sigma^2}\;\bar{t}+\frac{1+\sigma^2}{1-\sigma^2}\;\bar{x}$$

$$\bar{y'}=\bar{y}$$

La piú generale trasformazione speciale attorno alla retta $\vec{r}$ appartenente al piano $t=0$, passante per l'origine e formante l'angolo $\phi$ con l'asse $\vec{y}$ é data dal prodotto $A(-\phi)S_y(\lambda)A(\phi)$, dove $A(\phi)$ é la rotazione di asse $\vec{t}$ e angolo $\phi$, quindi é determinata dalla matrice

$$\left\Arrowvert\begin{matrix}1&0&0\cr... ...0\cr 0&\cos\phi &\sin\phi\cr 0&-\sin\phi &\cos\phi\end{matrix}\right\Arrowvert=$$

$$\left\Arrowvert\begin{matrix}\frac{1+... ...frac{1+\sigma^2}{1-\sigma^2}\sin^2\phi+\cos^2\phi \end{matrix}\right\Arrowvert.$$ (21)

Posto $\alpha=a+ib=\sigma e^{i\phi}$, quindi con $\vert\alpha\vert=\vert\sigma\vert<1$ e $a=\sigma\cos\phi$, $b=\sigma\sin\phi$, si ha inoltre che:

$$\frac{1+\sigma^2}{1-\sigma^2}\cos^2\phi+\sin^2\phi=\frac{1}{1-\si... ...\sigma^2\cos^2\phi+\sin^2\phi -\sigma^2\sin^2\phi)=\frac{1+a^2-b^2}{1-\sigma^2}$$

e

$$\frac{1+\sigma^2}{1-\sigma^2}\sin^2\phi+\cos^2\phi=\frac{1-a^2+b^... ...\sigma^2}{1-\sigma^2} \sin\phi\cos\phi-\sin\phi\cos\phi=\frac{2ab}{1-\sigma^2}.$$

Cosí la matrice (21) si puó anche scrivere

$$\left\Arrowvert\begin{matrix}\frac{1+... ...frac{2ab}{1-\sigma^2}& \frac{1-a^2+b^2}{1-\sigma^2}\end{matrix}\right\Arrowvert$$ (22)

quindi la piú generale trasformazione speciale di Lorentz é:

$$\bar{t'}=\frac{1+\sigma^2}{1-\sigma^2}\bar{t}+\frac{2a}{1-\sigma^... ...ma^2}\bar{t}+\frac{2ab}{1-\sigma^2}\bar{x}+\frac{1-a^2+b^2}{1-\sigma^2}\bar{y}.$$ (23)

Proiettando, mediante le (19) (20), la trasformazione (23) sul disco di Poincaré, si ottengono le seguenti trasformazioni:

$$x'=\frac{\bar{x'}}{1+\bar{t'}}=\frac{2a\bar{t}+(1+a^2-b^2)\bar{x}... ...^2)+2(1+a^2-b^2)x+4aby}{(1-\sigma^2)(1-\rho^2)+(1+\sigma^2)(1+\rho^2)+4ax+4by}=$$

$$\frac{(x+a)(1+ax+by)-(y+b)(bx-ay)}{(1+ax+by)^2+(bx-ay)^2},$$

$$y'=\frac{\bar{y'}}{1+\bar{t'}}=\frac{(y+b)(1+ax+by)-(x+a)(ay-bx)}{(1+ax+by)^2+(ay-bx)^2},$$

da cui, posto $z=x+iy$, si trova

$$z'=x'+iy'=\frac{((x+a)+i(y+b))((1+ax+by)+i(bx-ay))}{((1+ax+by)-i(bx-ay))((1+ax+by)+i(bx-ay))}=\frac{z+\alpha}{1+ \bar{\alpha}z}.$$

Si puó perció concludere che le isometrie del disco di Poincaré corrispondenti alle trasformazioni speciali di Lorentz sono rappresentate dalla trasformazione

$$T(z)=\frac{z+\alpha}{1+\bar{\alpha}z}.$$ (24)

La trasformazione (24), che é una particolare trasformazione di Moebius, gode delle seguenti proprietá:

1. é analitica in $\bar{D}$;
2. $\partial D$ é sottoinsieme invariante;
3. $D$ é un sottoinsieme invariante;
4. ha due soli punti fissi, appartenenti entrambi a $\partial D$.

La prima segue immediatamente dal fatto che il punto del piano complesso $z_0=-\frac{1}{\bar{\alpha}}$, ha modulo $\vert z_0\vert=\frac{1}{\vert\alpha\vert}>1$. La seconda é conseguenza delle seguenti: da $\vert z\vert=1$ segue che $\vert T(z)\vert=\left\vert z\frac{1+\alpha\bar{z}} {1+\bar{\alpha}z}\right\vert=1$ e viceversa $T(z)=1 \Rightarrow \vert z\vert=\vert\frac{1-\alpha}{1-\bar{\alpha}}\vert=1$. La terza che é conseguenza della costruzione geometrica con cui é stata definita $T$ ⁴, si puó ricavare anche analiticamente, dalle prime due e da $\vert T(0)\vert=\vert\alpha\vert<1$, infatti se $\bar{z}\in D$ e $\vert T(\bar{z})\vert>1$ allora presa una qualunque curva $\gamma\subset D$ di classe $C^0$ e congiungente i punti 0 e $\bar{z}$, la sua immagine $T(\gamma)$ é ancora di classe $C^0$ e dovendo congiungere i punti $T(0)\in D$ e $T(\bar{z})$ non appartenente a $\bar{D}$, deve necessariamente attraversare $\partial D$, che é contro la seconda proprietá. Infine per determinare i punti fissi di $T$, basta risolvere l'equazione $T(z)=z$, cioé $z^2=\frac{\alpha}{\bar{\alpha}}=\frac{\alpha^2}{\vert\alpha\vert^2}$, da cui si ricavano le due soluzioni $z_1=\frac{\alpha}{\vert\alpha\vert}\in \partial D$ e $z_2=-\frac{\alpha}{\vert\alpha\vert}\in \partial D$.

Nel caso euclideo, le isometrie proprie sono le traslazioni e le rotazioni. Le prime hanno un punto fisso improprio, mentre le altre hanno un punto fisso proprio. Cosí la trasformazione (24), i cui punti fissi sono impropri é equiparabile alle traslazioni euclidee, ed é chiamata iperbolica. La differenza tra le traslazioni euclidee e le trasformazioni iperboliche sta nel numero dei punti fissi, ma ció é scontato, perché nel piano euclideo ogni retta ha un solo punto improprio, mentre nel disco di Poincaré ogni geodetica incontra la $\partial D$ in due punti distinti, quindi, fissata una traslazione, essa lascia una direzione invariante e quindi, nel caso euclideo, lascia fisso un punto improprio, mentre nel caso iperbolico lascia fissi i due punti impropri della retta che individua tale direzione.

Fino ad ora sono state considerate le trasformazioni speciali di Lorentz nello spazio-tempo di Minkowski tridimensinale, ma si é detto prima che la piú generale trasformazione di Lorentz é generata, oltre che da quest'ultime, anche dalle rotazioni spaziali di asse $\vec{t}$. É immediato verificare che la composizione di una rotazione di angolo $\theta$ ed asse $\vec{t}$, con le proiezioni (19) (20), dá come risultato la trasformazione su $D$: $T(z)=e^{i\theta}$, che é l'analoga della rotazione euclidea perché ha come punto fisso l'origine. Una trasformazione con un solo punto fisso proprio si chiama ellittica.

Si puó cosí concludere che le isometrie elementari sul disco di Poincaré, ottenute, con il precedente meccanismo, dalle trasformazioni di Lorentz tridimensionali, sono date dalla funzione

$$T(z)=e^{i\theta}\frac{z+\alpha}{\bar{\alpha}z+1}, \quad\hbox{con}\quad \vert\alpha\vert<1,$$ (25)

nel senso che la piú generale isometria propria (che conserva la paritá), ricavata da una trasformazione di Lorentz, si puó considerare come una composizione di trasformazioni di questo tipo. Osservando che il gruppo continuo di trasformazioni (di Lie) generato dalla (25) é tridimensionale e che d'altra parte una varietá bidimensionale puó ammettere un gruppo continuo di isometrie di al piú tre parametri, si puó concludere che il gruppo generato dalla (25) é il gruppo di isometrie proprie⁵ di $D$.

La (25), che ha il vantaggio di evidenziare il modo in cui si compongono le rotazioni é le traslazioni, si puó anche scrivere sotto forma di una trasformazione di Moebius che semplifica la classificazione delle isometrie descritte dalla (25):

$$T(z)=\frac{az+\bar{c}}{cz+\bar{a}} \q... ...n $a$\ e $c$\ numeri complessi, tali che}\quad \vert a\vert^2-\vert c\vert^2=1.$$ (26)

Infatti, si dimostra facilmente che le due trasformazioni sono equivalenti: dalla (26) posto $a=\mu e^{i\psi}$ e quindi, tenendo conto del vincolo $\vert c\vert^2=\vert a\vert^2-1$, $c=\sqrt{\mu^2-1}e^{i\nu}$, si trova

$$T(z)=\frac{\mu e^{i\psi}z+\sqrt{\mu^2-1}e^{-i\nu}}{\sqrt{\mu^2-1}... ...\mu^2-1}}{\mu}e^{-i(\nu+\psi)}}{\frac{\sqrt{\mu^2-1}}{\mu}e^{i(\nu+\psi)}z+1},$$

da cui, posto $\theta=2\psi$ e $\alpha=\frac{\sqrt{\mu^2-1}}{\mu}e^{-i(\nu+\psi)}$, si ottiene la (25). Viceversa dalla (25) con $\alpha=\sigma e^{i\phi}$ e $\vert\sigma\vert<1$, posto $\mu=\frac{1}{1-\sigma^2}\Leftrightarrow \sigma=\frac{\sqrt{\mu^2-1}}{\mu}$, $\psi=\frac{\theta}{2}$ e $\nu=-\phi-\psi$, allora

$$T(z)=e^{2i\psi}\frac{z+\sigma e^{i\phi}}{1+\sigma e^{-i\phi}z}=\f... ...{-i\nu}}{\mu e^{-i\psi}+\sqrt{\mu^2-1}e^{i\nu}z}=\frac{az+\bar{c}}{cz+\bar{a}},$$

con $a=\mu e^{i\psi}$ e $c=\sqrt{\mu^2-1}e^{i\nu}$.

Per classificare le possibili isometrie descritte dalle (25) (26), determiniamo i punti fissi di quest'ultima, cioé le soluzioni dell'equazione

$$z=\frac{a z+\bar{c}}{c z+\bar{a}} \quad \Leftrightarrow \quad c z... ...rrow \quad \sqrt{\mu^2-1}e^{i\nu}z^2-2i\mu\sin\psi z-\sqrt{\mu^2-1}e^{-i\nu}=0,$$

che sono

$$z_{1,2}=\frac{i\mu\sin\psi\pm\sqrt{\mu^2\cos^2\psi-1}}{\sqrt{\mu^2-1}e^{i\nu}}.$$ (27)

Si possono cosí distinguere i seguenti casi secondo il valore di $\Re a=\frac{a+\bar{a}}{2}=\mu\cos\psi$

1. $(\Re a)^2>1$. Si ottengono due soluzioni distinte con
   $$\vert z_{1,2}\vert^2=\frac{\mu^2\sin^2\psi+\mu^2\cos^2\psi-1}{\mu^2-1}=1,$$
   quindi ci sono due punti fissi impropri, perció la trasformazione é iperbolica.
2. $(\Re a)^2=1$.Ci sono due soluzioni coincidenti $\bar{z}=z_1=z_2$, con
   $$\vert\bar{z}\vert^2=\frac{\mu^2\sin^2\psi}{\mu^2-1}=\frac{\mu^2-\mu^2\cos^2\psi}{\mu^2-1}=1,$$
   quindi cé un solo punto improprio fisso, in questo caso la trasformazione si dice parabolica.
3. $(\Re a)^2<1$. Si ottengono ancora due soluzioni distinte:
   $$z_{1,2}=\frac{i}{\sqrt{\mu^2-1}e^{i\nu}}(\mu\sin\psi\pm\sqrt{1-\mu^2\cos^2\psi}),$$
   con
   $$\vert z_{1,2}\vert^2=\frac{\mu^2\sin^2\psi+1-\mu^2\cos^2\psi\pm 2... ...2}{\mu^2-1}(1-\mu^2\cos^2\psi\pm\vert\mu\sin\psi\vert\sqrt{1-\mu^2\cos^2\psi}).$$
   La soluzione con il segno $+$ ha modulo maggiore di uno, quindi é da scartare, poiché
   $$(1-\mu^2\cos^2\psi)-\vert\mu\sin\psi\vert\sqrt{1-\mu^2\cos^2\psi}=\sqrt{1-\mu^2\cos^2\psi}(\sqrt{1-\mu^2\cos^2\psi}-\vert\mu \sin\psi\vert)=$$
   $$\frac{\sqrt{1-\mu^2\cos^2\psi}}{(\sqrt{1-\mu^2\cos^2\psi}+\vert\mu\sin\psi\vert)}(1-\mu^2)<0,$$
   l'altra soluzione ha modulo minore di uno. Quindi c'é un solo punto proprio fisso, perció la trasformazione é ellittica.

Mentre le trasformazioni iperboliche ed ellittiche, sono analoghe alle traslazioni e rotazioni euclidee, la trasformazione parabolica non ha nessuna controparte euclidea. Per determinare un esempio di tale trasformazione, consideriamo il caso in cui il punto fisso sia $1$. In questo caso i numeri complessi che determinano la trasformazione $a=\mu e^{i\psi}$ e $c=\sqrt{\mu^2-1}e^{i\nu}$, sono soggetti ai seguenti due vincoli:

$$\Re a=\pm 1 \quad \Leftrightarrow\quad \mu\cos\psi=\pm 1, \qquad 1=\frac{a+\bar{c}}{c+\bar{a}}.$$

Dalla prima si ricava $\cos\psi=\pm\frac{1}{\mu}$ e quindi $\sin\psi=\pm\frac{\sqrt{\mu^2-1}}{\mu}$, da cui si ricava $a=\pm 1\pm i\sqrt{\mu^2-1}$. Mentre dalla seconda si ricava $c-\bar{c}=a-\bar{a}$, da cui $\sqrt{\mu^2-1}\sin\nu= \mu\sin\psi=\pm\sqrt{\mu^2-1}$ quindi $\sin\nu=\pm 1$ e $\cos\nu=0$, perció $c=\pm i\sqrt{\mu^2-1}$. Nel caso in cui la trsformazione é espressa dalla (25), allora $\alpha=\frac{\sqrt{\mu^2-1}}{\mu}e^{-i(\psi+\nu)}=\frac {\sqrt{\mu^2-1}}{\mu}e... ...\pm\sin\psi\pm i\cos\psi)= \frac{\sqrt{\mu^2-1}}{\mu^2}(\pm\sqrt{\mu^2-1}\pm i)$.

Footnotes

... ortocrona.²

basta utilizzare lo stesso argomento utilizzato nel corso di Fisica Matematica I, per dimostrare che le sole trasformazioni che conservono i coni di luce sono le trasformazioni di Lorentz e le omotetie ( $(t,x,y)\rightarrow (\lambda t,\lambda x,\lambda y)$ con $\lambda>0$); poiché nel nostro caso, le omotetie non consevano gli iperboloidi, restano soltanto le trasformazioni di Lorentz.

... $\beta=-\tanh\lambda$³

queste trasformazioni si ricavano dalle equazioni $\eta_{ij}=\Lambda^h_i\Lambda^k_j\eta_{hk}$, $\Lambda^0_0>0$, $\det\Vert\Lambda^i_j\Vert>0$ e $\bar{y'}=\bar{y}$

...\space ⁴

il generico punto $(x,y)\in D$, viene mandato dalla (19) in un punto $(\bar{t},\bar{x},\bar{y})\in H$, che viene mandato dalla (23) in un altro punto di $(\bar{t'},\bar{x'},\bar{y'})\in H$, che viene proiettato dalla (20) in un punto di $(x',y')\in D$

... proprie⁵

che conservano la paritá.