Costruzione del modello di Minkowski

Nel 1901 David Hilbert dimostró che non esiste un'isometria analitica che immerge il piano iperbolico su tutta una superficie completa dello spazio euclideo tridimensionale. Questo risultato fu generalizzato nel 1964 da N.V. Efimov, il quale dimostró che non esistono neppure immersioni isometriche di classe $C^2$.

Allo stesso modo delle geometrie bidimensionali ellittiche, che sono rappresentabili come geometrie intrinseche di superfici bidimensionali di curvatura positiva dello spazio euclideo tridimensionale, ci si potrebbe aspettare che le geometrie iperboliche, ammettano, una tale rappresentazione mediante superfici di curvatura negativa. Ma per il teorema di Hilbert, almeno globalmente, una tale rappresentazione non esiste.

Peró, se dotiamo lo spazio affine tridimensionale, anzicché di una metrica propriamente euclidea, di una metrica di Lorentz, vengono a mancare le ipotesi del teorema di Hilbert ed effettivamente, come vedremo tra breve, si possono trovare superfici complete isometriche al piano iperbolico.

Consideriamo lo spazio-tempo di Minkowski tridimensionale $M_3$, cioé lo spazio affine tridimensionale che in un sistema di coordinate cartesiane $(t,x,y)$ ammette la metrica

$$ds^2=-dt^2+dx^2+dy^2.$$ (13)

In $M_3$, consideriamo la falda dell'iperboloide ellittico $H$ di equazione $t^2-x^2-y^2=1,\quad t>0$, e quindi di equazioni parametriche:

$$t=\cosh \chi, \quad x=\sinh\chi\;\cos\phi, \quad y=\sinh\chi\;\sin\phi, \quad \chi\in[0,+\infty[, \quad 0\le\phi<2\pi.$$ (14)

Tale superficie é di tipo spazio, infatti il vettore normale $N$, avendo componenti $(t,-x,-y)$, e quindi essendo $N^2=-t^2+x^2+y^2=-1$, é di tipo tempo. La metrica indotta su tale ipersuperficie da quella di Minkowski é la metrica propriamente riemanniana:

$$d\sigma_H^2=d\chi^2+\sinh^2\chi d\phi^2.$$ (15)

Osservazione 1   La metrica indotta su $H$ da quella euclidea: $ds^2=dt^2+dx^2+dy^2$ é $d\Sigma^2=(\sinh^2\chi+\cosh^2\chi)d\chi^2+\sinh^2\chi d\phi^2$, che definisce una struttura propriamente riemanniana diversa da quella determinata da $d\sigma_H^2$. In particolare si puó dimostrare che mentre $d\Sigma^2$ é a curvatura positiva, $d\sigma_H^2$ é a curvatura negativa. Inoltre se $Q'$ e $Q''$ sono due punti di coordinate rispettivamente $(\bar{\chi},\phi')$ e $(\bar{\chi}, \phi'')$, nel caso euclideo, la curva di minima distanza congiungente $Q'$ e $Q''$ é la circonferenza di equazione $\chi=\bar{\chi}$, mentre, come vedremo in seguito, nel caso pseudo-euclideo, la geodetica congiungente i due punti é una curva aperta.

Figure 6: Proiezione di $D$ su $H$ da $P$

Consideriamo il disco $D$ di equazioni $z=0,\; x^2+y^2<1$, il punto $P\equiv(t=-1,0,0)$ ed in corrispondenza l'applicazione che ad ogni punto $Q\in D$ associa l'unico punto $Q'\in H$ in cui la retta $\overrightarrow{PQ}$ interseca $H$, rappresentata graficamente in fig.6. In un sistema di coordinate cilindriche $(t,\rho(=\sqrt{x^2+y^2}),\phi)$, le equazione della generica semiretta uscente da $P$ sono $t+1=m \rho,\; \phi=\phi_1$, la quale incontra il disco $D$ in un punto $Q\equiv(0, \rho_1,\phi_1)$ se $m=\frac{1}{\rho_1}>1$. Il punto $Q'\equiv(t_2,\rho_2,\phi_2)$ in cui la retta $\overrightarrow{PQ}$ incontra $H$, deve avere le seguenti coordinate: $\phi_2=\phi_1$ e $t_2+1=m\rho_2$, perché $Q'\in\overrightarrow{PQ}$, $t_2=\sqrt{1+\rho_2^2}$ perché $Q'\in H$. Eliminando $t_2$ dalle ultime due equazioni, si ricava $\rho_2=\frac{2m}{m^2-1}$, da cui tenedo conto che $m=\frac{1}{\rho_1}$, si trova che $\rho_2=\frac{2\rho_1}{1-\rho_1^2}$ e $t_2=\frac{1+\rho_1^2}{1-\rho_1^2}$.

In definitiva, la legge di corrispondenza, descritta gaficamente dalla fig.6, ha la seguente rappresentazione analitica:

$$(0,\rho,\phi)\quad \rightarrow \quad (\frac{1+\rho^2}{1-\rho^2},\frac{2\rho}{1-\rho^2},\phi).$$ (16)

Oppure, utilizzando le equazioni parametriche (14) per descrivere $H$ e tenedo conto che $\rho=\sinh\chi$ e quindi $\frac{\rho}{t}=\tanh\chi$, la trasformazione precedente si puó anche scrivere:

$$(0,\rho,\phi_1)\quad \rightarrow \quad (\chi=\tanh^{-1}\frac{2\rho}{1+\rho^2}, \phi=\phi_1).$$ (17)

Poiché $d\chi=\frac{2}{1-\rho^2}d\rho$ e che $\sinh\chi=\frac{2\rho}{1-\rho^2}$, la trasformazione precedente manda la metrica (15) su $H$ nella metrica su $D$

$$d\sigma_D^2=\frac{4}{(1-\rho^2)^2}(d\rho^2+\rho^2d\phi^2),$$ (18)

che é esattamente la metrica (2) del disco di Poincaré.

Si puó cosí concludere che la trasformazione (17), che é analitica nell'aperto che ci interessa $\rho<1$, é un'isometria tra $(H, d\sigma_H^2)$ ed il disco di Poincaré $(D, d\sigma_D^2)$. Resta cosí dimostrato che esiste un'isometria analitica tra il piano iperbolico e una superficie completa dello spazio-tempo di Minkowski tridimensionale.

In particolare le geodetiche di $(H, d\sigma_H^2)$ si ottengono proiettando dal punto $P$ le geodetiche di $(D, d\sigma_D^2)$.Questo implica, che le geodetiche di $(H, d\sigma_H^2)$ sono curve aperte ed illimitate.

In particolare, la geodetica congiungente due punti $(\chi_1,\phi_1)$ e $(\chi_2,\phi_2)$ con $\chi_1=\chi_2$ (e quindi $t_1=t_2$), non é una circonferenza come nel caso euclideo.