Conclusione

Come detto all'inizio, questa esposizione non vuole essere una introduzione alla geometria iperbolica. Per esempio non é stato affrontato in maniera completa il problema dei postulati: si é visto che per due punti passa una ed una sola geodetica, inoltre con la prima applet, tracciando una geodetica $r$ ed un punto esterno $P$, nella modalitá polilinea, ripetendo la sequenza punto-close, si tracciano le geodetiche del fascio uscente da $P$, per cui ci si puó rendere conto che esistono infinite geodetiche che non hanno punti in comune con $r$ e due sole che hanno in comune con $r$ i punti impropri. Perció anche definendo parallele due geodetiche, quando hanno un punto improprio in comune, per $P$ passano due geodetiche parallele a $r$. La dimostrazione analitica di ció come dei postulati non dimostrati é un esercizio di geometria analitica, tenendo conto anche del fatto che, essendo il disco di Poincaré, conforme al piano euclideo, gli angoli coincidono con quelli euclidei.

Inoltre ci sono altri modelli del piano iperbolico. Per esempio il disco di Klein é, come il disco Poincaré, il disco aperto di centro l'origine e raggio $1$, ma le geodetiche sono tutte le corde. Tale modello peró ha lo svantaggio di non essere conforme al piano euclideo, per cui gli angoli tra geodetiche non hanno la stessa misura di quelli euclideii. Un altro modello é un semipiano delimitato da una retta $r$ e in cui le geodetiche sono le semirette ortogonali a $r$ e i semicerchi i cui estremi stanno su $r$. Questo modello é conforme al piano euclideo, ma non ha, a mio avviso, la simmetria e l'eleganza del modello di Poincaré, anche se le isometrie paraboliche in questo modello, sono piú intuitive, perché si riducono alle traslazioni di direzione $r$.

Infine non sono state considerate quelle proprietá del piano iperbolico che distinguono nettamente la geometria iperbolica da quella euclidea. Per esempio:

1. Il luogo dei punti che hanno distanza costante $\alpha$ da una retta data, non é costituito da rette.
2. L'area di un triangolo é la differenza tra $\pi$ e la somma degli angoli interni. Questo significa che tutti i triangoli simili hanno la stessa area.
3. Il rapporto tra l'area e la circonferenza del cerchio é sempre minore di $1$ e tende a $1$ quando il raggio tende a $+\infty$.

Per quanto riguarda ulteriori approfondimenti ed animazioni grafiche, sul web si trovano diversi siti che trattano di geometria iperbolica. In Geometry Junkyard, si trovano diversi links a siti che hanno come argomento la geometria ed in particolare la geometria iperbolica. Un sito molto interessante è Non Euclid , dove, tra l'altro, è scaricabile un'applicazione java che consente di disegnare qualunque figura, sia sul disco di Poincarè che sul modello del semipiano. Anche in The world of hyperbolic geometry, si trovano diverse applets animate che illustrano in particolar modo i gruppi di simmetria dei diversi modelli di piano iperbolico."

Infine aggiungo una mia considerazione semiseria. Se la quantità di materia contenuta nell'universo non supera una certo valore critico, dalla soluzione di Friedman-Robertson-Walker delle equazioni di Einstein della Relativitá Generale, si deduce che lo spazio in cui viviamo é, su larga scala, la ipersuperficie a curvatura costante negativa coincidente con il modello di Minkowski tridimensionale. Come si é visto sopra, le simmetrie di tale ipersuperficie sono compatibili con uno spazio-tempo quadridimensinale di Minkowski piuttosto che con uno spazio-tempo euclideo, quindi con una cinematica in cui le velocitá non si possono aumentare senza limite. Questo mi porta a pensare che se, qualche secolo fa;, quando non si conosceva la teoria della relativitá ristretta e la teoria elettromagnetica non era ancora nata, si fosse saputo, per altra via, che l'universo in cui viviamo fosse l'iperboloide tridimensionale di Minkowski, a chi fosse venuto in mente di studiare la cinematica in uno spazio-tempo quadridimensionale, non poteva non sfuggire che una cinematica con una velocitá limite e quindi senza tempo assoluto, sarebbe stata matematicamente piú elegante della cinematica classica.