Metrica e geodetiche

Il modello di Poincaré del piano iperbolico é costituito dal disco unitario $D$ del piano euclideo con metrica

$$ds^2=\frac{4}{(1-x^2-y^2)}(dx^2+dy^2),$$ (1)

rispetto ad un sistema di coordinate cartesiane ortogonali con origine nel centro $O$ di $D$. La metrica (1), in coordinate polari $\rho, \phi$ centrate in $O$, assume la forma

$$ds^2=\frac{4}{(1-\rho^2)}(d\rho^2+\rho^2d\phi^2).$$ (2)

La metrica (2) ammette equazioni delle geodetiche facilmente integrabili. Infatti, rispetto ad un parametro affine, la seconda equazione é

$$\ddot{\phi}+\frac{1}{g_{11}}\frac{dg_{11}}{d\rho}\dot{\phi}\dot{\... ...ntom{\phi}\rho}=0 \qquad \hbox{con} \qquad g_{11}=\frac{4\rho^2}{(1-\rho^2)^2},$$

la quale é immediatamente integrabile:

$$g_{11}\ddot{\phi}+\dot{g}_{11}\dot{\phi}=0 \quad \Rightarrow \quad g_{11}\dot{\phi}=2c,$$

essendo $c$ una costante arbitraria. Se $c=0$, allora $\phi=cost$, quindi $\frac{y}{x}=cost$, cioé si ottiene come soluzione un diametro di D. Quindi nel seguito si puó supporre $c\ne 0$ . Dall'equazione precedente si ricava

$$\dot{\phi}=\frac{c(1-\rho^2)^2}{2\rho^2}.$$ (3)

D'altra parte la prima equazione puó essere rimpiazzata dall'integrale primo (dell'energia)¹

$$g_{00}\dot{\rho}^2+g_{11}\dot{\phi}^2=1 \qquad \Rightarrow \qquad \dot{\rho}=\pm\frac{1-\rho^2}{2\rho} \sqrt{\rho^2-c^2(1-\rho^2)^2},$$ (4)

che assieme alla (3) dá

$$\frac{d\phi}{d\rho}=\pm\frac{c(1-\rho^2)}{\rho\sqrt{\rho^2-c^2(1-\rho^2)^2}}.$$ (5)

Posto

$$a=\frac{c}{\sqrt{1+4c^2}} \qquad \Rightarrow \qquad c=\frac{a}{\sqrt{1-4a^2}} \qquad (4a^2<1),$$

la (5) diventa

$$\frac{d\phi}{d\rho}=\pm\frac{\frac{a}{\rho^2}(1-\rho^2)}{\sqrt{1-(\frac{a}{\rho}(1+\rho^2))^2}}.$$ (6)

Con la sostituzione $r=\frac{a}{\rho}(1+\rho^2)$, essendo $dr=\frac{a}{\rho^2}(\rho^2-1)d\rho$, si ha

$$d\phi=\pm\frac{dr}{\sqrt{1-r^2}}=\pm d(\arccos r) \quad \Rightarr... ...(\rho^2+1)) \quad \Rightarrow \quad \cos(\phi-\phi_0)=\frac{a}{\rho}(\rho^2+1),$$

da cui, posto $\rho_0=\frac{1}{2a}(>1)$, si ricava $\rho^2-2\rho_0\rho\cos(\phi-\phi_0)+1=0$ e quindi, tenendo conto che le soluzioni col segno $+$ danno $\rho>1$, cioé traiettorie esterne a $D$, si ottiene

$$\rho=\rho_0\cos(\phi-\phi_0)-\sqrt{\rho^2\cos^2(\phi-\phi_0)-1} .$$ (7)

La generica circonferenza di centro $C$ di coordinate polari $(\rho_0,\phi_0)$ e raggio $r$, che interseca ortogonalmente il bordo $\gamma$ di $D$, deve verificare l'equazione della fig.1.

Figure 1: $r^2=\rho _0^2-1$

In base alla fig.2 si trova l'equazione di tale circonferenza in coordinate polari, che considerata insieme all'equazione della fig.1, dá: $\rho^2-2\rho_0\rho\cos(\phi-\phi_0)+1=0$, cioé l'equazione delle geodetiche, di cui la parte che interseca $D$ ($\rho<1$) é quella con il segno meno, cioé la (7). Nella (7) imponendo $\rho=1$ si ottiene, $\cos(\phi-\phi_0)=\frac{1}{\rho_0}$ da cui si riconosce che gli estremi di tale geodetica si ottengono per $\phi=\phi_o\pm\arccos\frac{1}{\rho_0}$.

Figure: $r^2=\rho^2+\rho_0^2-2\rho\rho_0\cos(\phi-\phi_0)$

Si puó quindi concludere che:

Le geodetiche della metrica (2) sono:

1. i diametri di $D$,
2. gli archi di circonferenza che intersecano ortogonalmente il bordo di $D$ e precisamente tutte e sole le curve che verificano l'equazione (7) con $\phi\in[\phi_0-\arccos\frac{1}{\rho_0}, \phi_0+\arccos\frac{1}{\rho_0}]$

D'altra parte, tenendo conto che la metrica (1) é conforme a quella del piano euclideo, si puó concludere che:

Gli angoli formati tra due geodetiche incidenti in un punto $P$, sono uguali a quelli euclidei formati dalle tangenti in $P$.

Footnotes

... (dell'energia)¹

supporre uguale ad 1 la costante arbitraria al secondo membro, equivale a scegliere, come parametro affine sulla geodetica, l'ascissa curvilinea.