Geodetiche per due punti

In coordinate cartesiane l'equazione della circonferenza di centro $C=(\alpha,\beta)$ e raggio $r$ é $(x-\alpha)^2+(y-\beta)^2=r^2$ cioé $x^2+y^2-2\alpha x-2\beta y=r^2-\alpha^2-\beta^2$. Quindi, denotate con $(\rho_0,\phi_0)$ le coordinate polari di $C$, l'equazione diventa $x^2+y^2-2\alpha x-2\beta y=r^2-\rho_0^2$, ed imponendo la condizione di ortogonalitá $r^2=\rho _0^2-1$ a $\partial D$, vista nella sezione precedente, si puó concludere che

esiste solo una sola circoferenza di centro $C=(\alpha,\beta)$ ortogonale a $\partial D$ ed ha equazione

$$x^2+y^2-2\alpha x-2\beta y+1=0.$$ (8)

Dati due punti distinti $P_1\equiv(x_1,y_1)$ e $P_2\equiv(x_2,y_2)$, si possono presentare le seguenti eventualitá:

1. $P_1$ e $P_2$ sono allineati con l'origine ( $x_1y_2=x_2y_1$), questo significa che per essi passa uno ed un sol diametro di $D$, cioé, in accordo con la sezione precedente, una ed una sola geodetica;
2. $P_1$ e $P_2$ non sono allineati con l'origine ( $x_1y_2\ne x_2y_1$), allora, imponendo che essi siano soluzioni dell'equazione (8), per il teorema di Kramer, si trova che determinano univocamente la coppia $(\alpha,\beta)$:

   $$\alpha=\frac{y_2(1+x_1^2+y_1^2)-y_1(1+x_2^2+y_2^2)}{2(x_1y_2-y_1x_2)}, \qquad \beta=\frac{x_1(1+x_2^2+y_2^2)-x_2(1+x_1^2+y_1^2)}{2(x_1y_2-y_1x_2)}$$ (9)

   
   
   e quindi ll'unica geodetica passante per essi.

In particolare, se i punti vengono assegnati in coordinate polari: $P_1\equiv(\rho_1,\phi_1)$ e $P_2\equiv(\rho_2,\phi_2)$, allora, con facili calcoli, si vede che le equazioni (9) si trasformano nelle seguenti:

$$\alpha=\frac{1}{\sin(\phi_2-\phi_1)}(\frac{1+\rho_1^2}{2\rho_1}\s... ...1)}(\frac{1+\rho_2^2}{2\rho_2}\cos\phi_1-\frac{1+\rho_1^2}{2\rho_1}\cos\phi_2).$$ (10)

Infine se si vuol determinare l'equazione della geodetica passante per $P_1$ e $P_2$ nella forma (7), basta ricavare le coordinate polari $(\rho_0,\phi_0)$ di C dalle coordinate cartesiane $(\alpha,\beta)$.