Descrizione del corso

Dalle equazioni al mondo reale

Conoscete già le Equazioni Differenziali Ordinarie, dove tutto dipende da una sola variabile. Ma il mondo reale non è mai così semplice: il calore si diffonde nello spazio e nel tempo, le onde si propagano in più direzioni, un fluido scorre attraverso volumi tridimensionali. Per descrivere questi fenomeni servono funzioni di più variabili, e le equazioni che le governano sono le Equazioni alle Derivate Parziali (PDE).

Non è un caso che le PDE siano ovunque: in Ingegneria, Fisica, Chimica, Biologia, Economia. Ogni volta che un fenomeno cambia nello spazio oltre che nel tempo, dietro c'è quasi certamente una PDE. Studiarle significa avere in mano uno degli strumenti più potenti e trasversali di tutta la matematica applicata.

Cosa faremo in questo corso

Non si tratta di "risolvere equazioni". Il cuore del corso è capire le proprietà qualitative delle soluzioni: quanto sono regolari? Sono uniche? Come si comportano vicino al bordo del dominio o in punti singolari? Questo tipo di domande – la regolarità delle soluzioni – è al centro della ricerca moderna in analisi matematica, ed è esattamente il filo conduttore del corso.

Per affrontare queste domande con rigore, costruiremo gli strumenti giusti: la Teoria delle Distribuzioni, che estende il concetto stesso di funzione e di derivata, e gli Spazi di Sobolev, l'ambiente naturale in cui vivono le soluzioni "deboli" delle equazioni. Sono strumenti che, una volta acquisiti, si portano dietro per tutta la carriera matematica.

E dopo l'esame?

Per chi vuole andare oltre, il corso offre un laboratorio opzionale post-esame per approfondire ulteriormente i temi trattati.

Per informazioni: giuseppedifazio@unict.it