Il corso rappresenta una breve introduzione ai metodi numerici per la riosoluzione di problemi di base. Indirizzato a studenti del secondo anno di Matematica, ha l'obiettivo di presentare alcune idee fondamentali dell'arte dell'approssimazione numerica, quali accuratezza, robustezza ed efficienza dei metodi, e le tecniche di base per la soluzione di sistemi lineari, iterpolazione e approssimazione di funzioni, calcolo di integrali, e soluzioni di equazioni differenziali. Durante il corso viene fornita un'introduzione all'uso del Matlab. Gli aspetti implementativi dei metodi illustrati durante il corso verranno svolti nel corsio parallelo di Programmazione, tenuto dal Prof. Giuseppe Nicosia, che utilizzerą il linguaggio C.
Introduzione all'uso del calcolatore.
Introduzione al Matlab.
Operazioni elementari con vettori e matrici. Notazione degli indici. Soluzione
di sistemi lineari con Matlab. Uso della grafica. I comandi plot e subplot.
Script files e funzioni. Calcoli simbolici con Matlab. Rappresentazione dei numeri reali in una data base. Rappresentazione in
virgola mobile. I numeri di macchina. Troncamento ed arrotondamento.
Operazioni di macchina. Cancellazione numerica. Ordine di
accuratezza.
Algebra lineare numerica.
Richiami di algebra lineare: vettori, matrici, determinanti, matrice
inversa. Norme di vettore e norme di matrice. Norme naturali e loro
rappresentazione. Autovalori. Raggio spettrale e sue proprietà.
Alcune matrici particolari. Metodi diretti per la risoluzione dei
sistemi lineari: sistemi triangolari, metodo di eliminazione di Gauss,
pivoting. Fattorizzazioni A=LU e PA=LU. Condizionamento di un sistema
lineare. Numeri di condizionamento. Matrici sparse e loro rappresentazione.
Autovalori ed autovettori: richiami. Matrici non negative e legame con la teoria
dei grafi. Matrici irriducibili. Teoremi di Perron-Frobenius
(enunciati). Matrici di Markov e modo browniano su grafi (cenni). Decomposizione
in valori singolari (cenni). Localizzazione degli autovalori: i teoremi
di Gershgorin-Hadamard. Calcolo degli autovalori: il metodo delle potenze.
Applicazione: Pagerank di Google.
Approssimazione di funzioni e dati.
Interpolazione polinomiale. Forma di Lagrange. Operatore lineare di
interpolazione. Calcolo del polinomi di interpolazione. Formula di
Newton delle differenze divise. Il resto dell'interpolazione. Polinomi
di Cebicev: formula ricorsiva, zeri, proprietà di minima
norma. Teorema di Weierstrass sulla approssimazione di una
funzione continua mediante polinomi (enunciato). Problema della convergenza di una
successione di schemi interpolatori. Interpolazione mediante polinomi a
tratti. Funzioni spline. Calcolo delle spline
cubiche. Metodo dei minimi quadrati e applicazioni. Equazioni normali e
loro interpretazione geometrica.
Soluzione di equazioni non lineari.
Concetti generali. Metodi di bisezione, delle corde e di Newton. Teoria generale
dei metodi iterativi per equazioni non lineari e problemi di punto fisso. Ordine
di convergenza.
Minimi e massimi di funzioni. Metodo della sezione aurea.
Formule di quadratura.
Forma generale di una fomula. Ordine polinomiale. Formule
interpolatorie. Teorema di convergenza. Formule di Newton-Cotes.
Formule Gaussiane. Formule composite: trapezi e Simpson. Metodo di
Romberg. Quadratura adattiva. Integrazione in pił dimensioni
(cenni).
Metodi numerici per le equazioni differenziali ordinarie.
Problemi ai valori iniziali. Richiami di teoria sulle equazioni
differenziali ordinarie (esistenza, unicità e dipendenza
continua dai dati). Metodo di Eulero in avanti e all'indietro. Metodi
ad un passo. Convergenza, consistenza e stabilità. Teorema di
convergenza per medodi ad un passo. Metodi di Runge-Kutta. Metodi di
collocazione. Controllo automatico del passo. Metodi multistep.
Problemi stiff e stabilità. A-stabilità.
G.Naldi, L.Pareschi, G.Russo, Introduzione al calcolo scientifico, McGraw-Hill, 2001.
Ulteriori approfondimenti si trovano sui testi:
Alcuni degli esercizi svolti a lezione si possono scaricare da qui sotto forma di cartella zippata
Una introduzione all'uso del Matlab per problemi numerici si può scaricare da qui.
Seminario sulle applicazioni della matematica
Matrici sparse e metodo delle potenze
Alcuni script matlab su argomenti svolti a lezione
Il Matlab è un prodotto commerciale, diveunuto ormai uno
standard nel calcolo numerico. La versione per studenti può
essere acquistata in libreria. Per ulteriori informazioni consultare il
sito della Mathworks
ed in particolare del Matlab o della
MathWorks Italia (Teoresi).
Un prodotto simile al Matlab, ma di pubblico dominio è Octave,
disponibile per piattarme Linux e Windows. Informazioni su Octave si
trovano al sito http://www.octave.org/.
Documentazione on line su Matlab è direttamente
disponibile dal sito della Microsoft, alla pagina Manuale
Matlab.
Un ottimo prodotto, completamente gratuito, è Scilab, sviluppato
all'INRIA, in Francia. Esso ha funzioni simili al Matlab, ma ha una
sintassi di comandi leggermente differente. Consente di essere
interfacciato molto bene con linguaggi come C o fortran. Per
informazioni consultare il sito http://scilabsoft.inria.fr/.
Software numerico di pubblico dominio si trova su internet.Codici in C e fortran per una vasta classe di problemi numerici si trova al sito di netlib.
Gli algoritmi relativi al libro Naldi, Pareschi, Russo, di cui alla bibliografia, si trovano in rete alla pagina di ateneonline dedicata al libro, oppure alla pagina dedicata ali libro da uno degli autori (Naldi).