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Orario
di ricevimento (unico per tutti i corsi): Martedì e
Giovedì dalle 15 alle 17
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Anno (2005-2006)
| Primo
semestre |
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| Analisi Numerica per Matematici |
Aula 25 Ma-Gi 11-13
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1/2/06 20/2/06
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| Programmazione e Calcolo Numerico |
Uffucio Ma-Gi 15-17
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1/2/06 20/2/06
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| Secondo semestre
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Corso Tematico in Metodi Numerici (SSC)
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Da concordare
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Da concordare
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| Temi di Analisi Numerica (SISSIS) |
Da concordare
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Da concordare
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Programma (preliminare) dei corsi
Analisi Numerica per Matematici
(primo semestre, 2005-06)
Introduzione all'uso del calcolatore.
Cenni del sistema windows. Utilizzo del Matlab: vettori e matrici,
grafica, matlab come linguaggio di programmazione, funzioni di input e
output. Utilizzo di Matlab per calcoli simbolici: matlab symbolic.
Rappresentazione dei numeri reali in una data base. Rappresentazione in
virgola mobile. I numeri di macchina. Troncamento ed arrotondamento.
Operazioni di macchina. Propagazione degli errori. Ordine di
accuratezza.
Algebra lineare numerica.
Richiami di algebra lineare: vettori, matrici, determinanti, matrice
inversa. Norme di vettore e norme di matrice. Norme naturali e loro
rappresentazione. Autovalori. Raggio spettrale e sue proprietà.
Alcune matrici particolari. Metodi diretti per la risoluzione dei
sistemi lineari: sistemi triangolari, metodo di eliminazione di Gauss,
pivoting. Fattorizzazioni A=LU e PA=LU. Condizionamento di un sistema
lineare. Numeri di condizionamento.Manipolazioni di matrici tramite
Matlab. Matrici sparse e loro rappresentazione. Calcolo degli
autovalori: il metodo delle potenze.
Approssimazione di funzioni e dati.
Interpolazione polinomiale. Forma di Lagrange. Operatore lineare di
interpolazione. Calcolo del polinomi di interpolazione. Formula di
Newton delle differenze divise. Il resto dell'interpolazione. Polinomi
di Cebicev: formula ricorsiva, zeri, proprietà di minima
norma. Teorema di Weierstrass sulla approssimazione di una
funzione continua mediante polinomi. Problema della convergenza di una
successione di schemi interpolatori. Interpolazione mediante polinomi a
tratti. Funzioni spline. Calcolo delle spline
cubiche. Metodo dei minimi quadrati e applicazioni. Equazioni normali e
loro interpretazione geometrica.
Soluzione di equazioni non lineari.
Concetti generali. Metodi di bisezione, delle corde e di Newton. Teoria
generale dei metodi iterativi per equazioni non lineari e problemi di
punto fisso. Ordine di convergenza. Le funzioni Matlab fzero e roots.
Minimi e massimi di funzioni. Metodo della sezione aurea. La funzione
Matlab fmin.
Formule di quadratura.
Forma generale di una fomula. Ordine polinomiale. Formule
interpolatorie. Teorema di convergenza. Formule di Newton-Cotes.
Formule Gaussiane. Formule composite: trapezi e Simpson. Metodo di
Romberg. Quadratura adattiva. Funzioni rapidamente oscillanti.
Integrazione in più dimensioni.
Programmazione
e Calcolo Numerico (Primo semestre, 2005-06)
Introduzione al sistema operativo unix. Cenni
sulla installazione di Linux e cygwin. Comandi di unix dalla finestra
terminale. Utilizzo di editor (VI, emacs).
Introduzione al linguaggio C. Primo programma in C:
compilazione ed esecuzione in una finestra terminale. Il compilaore
gcc. Struttura generale di un programma C. Stile di programmazione.
Istruzioni elementari: dichiarazione delle variabili, assegnamento,
operazioni matematiche, semplice input-output. Vettori di integer,
float, e character. Istruzioni di controllo: instruzioni logiche e
cicli a condizione. Effetti collaterali. Programmazione strutturata,
funzioni e prototyping. Il preprocessore C e l'istruzione #define.
Strutture. Istruzioni di input-output e files. Calcoli in virgola
mobile.
Uso dei puntatori. Puntatori ed array. Liste. Alberi binari.
Funzioni chiamate ricorsivamente. Algoritmi di ordinamento:
bubble-sort, merge-sort, quick-sort (cenni). "Heap" e "heapsort".
Alberi binari bilanciati. Applicazione alla creazione di elenchi.
Algoritmi di algebra lineare numerica.
Metodi del gradiente. Metodi di Krylov. Il metodo del gradiente
coniugato. Precondizionamento. Applicazione alla soluzione di sistemi
lineari sparsi che vengono dalla discretizzazione di problemi ellittici.
Analisi Numerica (2002-2003)
Suddiviso in due moduli semestrali, il corso
presenta una introduzione ai metodi numerici, e costituisce la base
fondamentale per la ricerca di risposte quantitative a problemi
formulati in maniera matematica.
Esso è indirizzato agli studenti del secondo anno di Matematica
e di Informatica, ed è costituito da lezioni ed esercitazioni di
laboratorio. Durante le lezioni vengono forniti i rudimenti del calcolo
in virgola mobile, si studiano i metodi per la risoluzione di sistemi
lineari di equazioni algebriche, si affrontano i problemi della
interpolazione ed approssimazione di funzioni, del calcolo di zeri di
funzione e della approzzimazione di intergrali mediante formule di
quadratura. Nel secondo semestre verranno trattati problemi riguardanti
i metodi iterativi per sistemi lineari sparsi, metodi probabilistici e
metodi numerici per la risoluzione di equazioni differenziali. Durante
le esercitazioni di laboratorio vengono forniti strumenti pratici per
l'applicazione, mediante l'uso del calcolatore, dei metodi studiati. In
particolare, viene illustrato come utilizzare il Matlab, un potente
linguaggio di programmazione particolarmente adatto al calcolo
numerico, e vengoo sviluppati alcuni degli algoritmi studiati a
lezione.
Analisi
Numerica per Matematici e Informatici (Secondo semestre, 2002-03)
Approfondimenti e cenni di ottimizzazione
[Matematici]
Metodi iterativi per sistemi lineari. Metodi di Jacobi, Gauss-Seidel,
SOR per punti e per blocchi. Matrice di iterazione e condizioni di
convergenza. Sistemi sparsi. Metodi di tipo gradiente per sistemi con
matrice simmetrica definita positiva. Metodo del gradiente coniugato.
Formule di quadratura [Informatici]
Forma generale di una fomula. Ordine polinomiale. Formule
interpolatorie. Teorema di convergenza. Formule di Newton-Cotes.
Formule Gaussiane. Formule composite: trapezi e Simpson. Metodo di
Romberg. Quadratura adattiva. Funzioni rapidamente oscillanti.
Integrazione in più dimensioni.
Metodi probabilistici. [Matematici ed informatici]
Rudimenti di probabilità. Variabili aleatorie. Variabili
discrete e continue. Stimatori. Campionamento di distribuzioni
monovariate, continue e discrete. Tecnica di reiezione. Distribuzioni
multivariate. Calcolo di integrali. Applicazioni: un problema di
potenziale ed un problema di illuminazione.
Metodi numerici per le equazioni differenziali ordinarie.
[Matematici ed informatici]
Problemi ai valori iniziali. Richiami di teoria sulle equazioni
differenziali ordinarie (esistenza, unicità e dipendenza
continua dai dati). Metodo di Eulero in avanti e all'indietro. Metodi
ad un passo. Convergenza, consistenza e stabilità. Teorema di
convergenza per medodi ad un passo. Metodi di Runge-Kutta. Metodi di
collocazione. Controllo automatico del passo. Metodi multistep.
Problemi stiff e stabilità. A-stabilità.
Integrazione di equazioni differenziali con Matlab. Applicazioni.
Temi d'Analisi Numerica - Corso SISSIS
Corso breve (25 ore).
Introdizione al Matlab.
Operazioni elementari con vettori e matrici. Notazione degli indici.
Soluzione di sistemi lineari con Matlab. Uso della grafica. I comandi
plot e subplot. Script files e funzioni.Calcoli simbolici con
Matlab.Rappresentazione dei numeri al calcolarore. Operazioni di
macchina. Troncamento e arrotondamento. Cancellazione numerica.
Interpolazione e approssimazione
Il problema dell'interpolazione polinomiale. Matrice di Vandermonde.
Polinomio di Lagrange. Formula del resto. Definizione dei polinomi di
Chebyshev.Proprieta' di minima norma dei polinomi di Chebyshev. Cenni
al problema della convergenza di una successione di schemi
interpolatori. Polinomio di migliore approssimazione uniforme e teorema
di Weierstrass (enunciato). Comandi Matlab per l'interpolazione
polinomiale: polyfit e polyval. Approssimazione nel senso dei minimi
quadrati. Equazioni normali e loro interpretazione geometrica. Calcolo
del polinomio in un punto. Formula di Hoerner-Ruffini. Formula di
Newton delle differenze divise. Funzioni spline. Spline cubiche.
Calcolo delle spline cubiche. Calcolo della spline con Matlab. Dati
tipo 'struct'. Forma 'pp' dei polinomi
Calcolo di integrali.
Formule di quadratura. Ordine polinomiale di una formula di quadratura
e relazione con le formule interpolatorie. Teorema generale di
convergenza di una successione di formule di quadratura. Formule di
Newton-Cotes. Formule gaussiane. Prodotto scalare in spazi funzionali.
Polinomi ortogonali e loro determinazione. Formule composite.
Quadratura adattiva. Formule di quadratura in più dimensioni.
Calcolo di integrali con Matlab. Uso delle triangolazioni per
l'approssimazione numerica di integrali in due dimensioni.
Triangolazione di un insieme finito di punti del piano. Triangolazione
di Delaunay. Proprieta' dei circoncentri. Diagramma di Voronoi.
Costruzione di triangolazioni tramite Matlab.
Libro di testo consiglato: G.Naldi,
L.Pareschi, G.Russo, Introduzione al
calcolo scientifico, McGraw-Hill, 2001.
Inizio pagina
Corso tematico in Metodi Numerici
Corso interno della Scuola Superiore per la Formazione di
Eccellenza.
Svolgimento: secondo semestre. Durata: 30 ore.
Il corso rappresenta una breve introdiuzione ai
metodi numerici. Indirizzato a studenti dei corsi di laurea in
Ingegnerie e Fisica, ha l'obiettivo di presentare in forma sintetica,
alcune idee fondamentali dell'arte dell'approssimazione numerica, quali
accuratezza, robustezza ed efficienza dei metodi, e le tecniche di base
per la soluzione di sistemi lineari, iterpolazione e approssimazione di
funzioni, calcolo di integrali, e soluzioni di equazioni differenziali.
Durante il corso viene fornita un'introduzione all'uso del Matlab.
Programma (preliminare)
Analisi degli errori
Rappresentazione dei numeri al calcolarore. Operazioni di macchina.
Troncamento e arrotondamento. Cancellazione numerica.
Introduzione all'uso del Matlab
Operazioni con matrici e vettori. Soluzione di sistemi lineari. La
notazione degli indici. Operazioni vettoriali e per componenti. Comandi
di grafica. Script e function files.
Algebra lineare numerica
Richiami di algebra lineare. Vettori e matrici. Determinanti.
Autovalori. Norme di vettore e di matrice. Raggio spettrale e sue
proprietà.Metodi diretti per la soluzione di sistemi lineari.
Sistemi triangolari. Metodo di eliminazione di Gauss. Pivoting.
Fattorizzazione LU. Fattorizzazione PA = LU. Metodi iterativi per la
soluzione di sistemi lineari (cenni). Metodo del gradiente e metodo del
gradiente coniugato (cenni). Condizionamento di un sistema lineare.
Numero di condizionamento. Decomposizione in valori singolari
(enunciato).
Interpolazione ed approzzimazione
Panoramica sulle diverse tecniche di interpolazione (polinomiale,
trigonometrica, esponenziale, razionale). Interpolazione polinomiale.
Matrice di Vandermonde. Polinomio di Lagrange. Formula del resto.
Definizione dei polinomi di Chebyshev e loro proprietà di minima
norma in C0 dei polinomi di
Chebyshev. Polinomio di miglior aprossimazione uniforme e teorema di
Weierstrass (enunciato). Problema della convergenza di una successione
di schemi interpolatori (cenni). Calcolo del polinomio in un punto.
Formula di Hörner-Ruffini. Formula di Newton delle differenze
divise. Approssimazione polinomiale a tratti. Funzioni spline. Spline
cubiche e loro significato meccanico. Calcolo delle spline cubiche.
Funzioni Matlab per l'interpolazione polinomiale: le funzioni polyfit
e polyval, e la funzione spline. Migliore
approssimazione in L2: il
metodo dei minimi quadrati. Equazioni normali e loro interpretazione
geometrica.
Metodi per equazioni non lineari
Metodi di bisezione, delle corde e di Newton. Teoria generale
sulla convergenza di metodi iterativi. Criteri d'arresto.
Calcolo di integrali
Formule di quadratura. Ordine polinomiale di una formula di quadratura
e relazione con le formule interpolatorie. Teorema generale di
convergenza di una successione di formule di quadratura. Formule di
Newton-Cotes. Formule gaussiane. Prodotto scalare in spazi funzionali.
Polinomi ortogonali e loro determinazione. Formule composite.
Quadratura adattiva. Calcolo di integrali con Matlab.
Metodi numerici per le equazioni differenziali ordinarie
Problemi ai valori iniziali. Richiami di teoria sulle equazioni
differenziali ordinarie (esistenza, unicità e dipendenza
continua dai dati). Metodo di Eulero in avanti e all'indietro. Metodi
ad un passo. Convergenza, consistenza e stabilità. Teorema di
convergenza per medodi ad un passo. Metodi di Runge-Kutta. Metodi di
collocazione. Controllo automatico del passo. Metodi multistep.
Problemi stiff e stabilità. A-stabilità.
Integrazione di equazioni differenziali con Matlab. Applicazioni.
Bibliografia
Il libro di testo consiglato per i corsi di Analisi Numerica
è
il seguente:
G.Naldi, L.Pareschi, G.Russo, Introduzione al
calcolo scientifico, McGraw-Hill, 2001.
Ulteriori approfondimenti si trovano sui testi:
- V.Comincioli, Analisi Numerica: metodi, modelli, applicazioni,
McGraw-Hill, Milano, 1990.
- G. Monegato, Calcolo Numerico, Levrotto e Bella, Torino,
1985.
- A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, Matematica Numerica,
Springer Italia, Milano, 1998.
- E.Hairer, S.P.Norset, G.Wanner, Solving Ordinary
Differential Equations I, non stiff problems, Springer, 1980.
- E.Hairer, G.Wanner, Solving Ordinary Differential
Equations II, stiff problem, Springer, 1980.
Per il corso di Programmazione
e Calcolo Numerico di consigliano i
seguenti testi:
- S.Oualline, Practical C
programming, third edition, O'Reilly, Sebastopol, California,
1997.
- R.Kruse, C.L.Tondo, B.Leung, Data
Structures and Program Design in C, Second Edition, Prentice
Hall, 1997
- O.Axselsson, Iterative
Solution Methods, Cambridge University Press, New York, 1996.
Materiale didattico
Alcuni degli esercizi svolti a lezione si possono scaricare da qui sotto forma di cartella zippata
Una introduzione all'uso del Matlab per problemi numerici si
può scaricare da qui.
Software
Il Matlab è un prodotto commerciale, diveunuto ormai uno
standard nel calcolo numerico. La versione per studenti può
essere acquistata in libreria. Per ulteriori informazioni consultare il
sito della Mathworks
ed in particolare del Matlab o della
MathWorks Italia (Teoresi).
Un prodotto simile al Matlab, ma di pubblico dominio è Octave,
disponibile per piattarme Linux e Windows. Informazioni su Octave si
trovano al sito http://www.octave.org/.
Documentazione on line su Matlab è direttamente
disponibile dal sito della Microsoft, alla pagina Manuale
Matlab.
Un ottimo prodotto, completamente gratuito, è Scilab, sviluppato
all'INRIA, in Francia. Esso ha funzioni simili al Matlab, ma ha una
sintassi di comandi leggermente differente. Consente di essere
interfacciato molto bene con linguaggi come C o fortran. Per
informazioni consultare il sito http://scilabsoft.inria.fr/.
Software numerico di pubblico dominio si trova su internet.Codici in
C e fortran per una vasta classe di problemi numerici si trova al sito
di netlib.
Gli algoritmi relativi al libro Naldi, Pareschi, Russo, di cui alla
bibliografia, si trovano in rete alla pagina di ateneonline dedicata al
libro, oppure alla pagina dedicata ali libro da uno degli autori (Naldi).
Per eventuali richieste e/o chiarimenti contattare il docente per email
all'idirizzo
russo@dmi.unict.it
