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Un modello geometrico del DNA in stampa 3D

Vincenzo Manca       Giuseppe Scollo

Università di Verona                     Università di Catania

Dipartimento di Matematica e Informatica, Mathesis Catania, 1 Dicembre 2020

Indice

  1. Un modello geometrico del DNA in stampa 3D
  2. Perché un modello geometrico del DNA in stampa 3D?
  3. Prima risposta: le ragioni della vita
  4. Progetto matematico: geometria solida costruttiva
  5. Programmazione funzionale in OpenSCAD
  6. Obiettivo e requisiti del progetto
  7. Vincoli realizzativi sul progetto
  8. Modelli e prototipi
  9. Lavoro in corso
  10. Parametri della geometria del modello
  11. Dettagli matematici: teorema della bisettrice
  12. Butterflies con ali appaiate e concatenabili
  13. Connettori di appaiamento
  14. Rappresentazione geometrica della complementarità
  15. Modelli del DNA nelle mani dei bimbi
  16. Modelli del DNA nelle teste degli adolescenti
  17. Conclusioni?

Perché un modello geometrico del DNA in stampa 3D?

Le domande sono due:

una risposta alla prima domanda, in breve:

la risposta alla seconda domanda segue da quella alla prima e da una nota massima di Confucio:

chi insegna ne apprezza il corollario: se faccio fare, faccio capire

Prima risposta: le ragioni della vita

ce le spiega Vincenzo Manca:

Progetto matematico: geometria solida costruttiva

CSG: algebra dei volumi, costruiti

esempio tratto da Wikipedia: Geometria solida costruttiva

albero CSG

albero CSG delle operazioni di costruzione di un solido

Programmazione funzionale in OpenSCAD

concettualmente, la CSG è molto semplice, ma come si può usarla in pratica?

il manuale (in inglese) è di agevole consultazione dall'indice Cheat Sheet

l'interprete OpenSCAD fa essenzialmente due cose:

il modello intermedio STL è poi traducibile nel codice di più basso livello Gcode da un software slicer, impostando i parametri che dipendono dalla macchina, dal materiale di stampa, dalla qualità di stampa desiderata ecc.

Obiettivo e requisiti del progetto

Obiettivo: realizzare un modello concreto del DNA, adatto a finalità didattiche, basato solo su proprietà geometriche e informazionali del DNA

Requisiti:

  • componibilità
  • scalabilità, fattore di scala globale
  • parametricità, con valori dei parametri corrispondenti alla geometria reale del DNA, v. Barocci (2014)

componibilità → due tipi interdipendenti di modelli:

  • visuali
  • di stampa

componibilità ← scenari d'uso formativo:

Primo prototipo di modello DNA in stampa 3D

1° prototipo di modello DNA in stampa 3D

Vincoli realizzativi sul progetto

le risorse disponibili, macchina e materiali di stampa, impongono alcune limitazioni che influiscono sulla geometria del modello

macchina a estrusore singolo: non è disponibile l'estrusione di un supporto in materiale idrosolubile (e.g. PVA) a sostegno di parti sospese

materiali disponibili: sia rigidi che flessibili, per motivi diversi impongono di evitare parti troppo sottili, specialmente se sottoposte a sollecitazioni dall'uso prevedibile

si deve tener conto di aspetti fisici dei materiali:

Modelli e prototipi

una galleria in evoluzione:

prototipo in Kyotoflex+PLA

prototipo in Kyotoflex+PLA

tre prototipi dallo stesso modello

tre prototipi dallo stesso modello

modello a colori, TPU

modello a colori, TPU

usabilità e durata dei componenti dipendono criticamente da fattori fisici:

Lavoro in corso

esperimento: stampare a colori le etichette

modello CATAGGATTA con etichette a colori, assonometria         modello CATAGGATTA con etichette a colori, vista dall'alto

modello CATAGGATTA con etichette a colori

prime stampe:

due coppie concatenate di monomeri appaiati con etichette a colori

due coppie concatenate di monomeri appaiati

dopo le prime stampe mostrate, la macchina si è bloccata ...

a ogni modo, la riparazione è in corso :)

Parametri della geometria del modello

corrispondenza con misure note della geometria del DNA reale

forme diverse di DNA, differenti nei valori dei parametri; misure della forma B, la più comune e più stabile, nella versione textbook :

angoli di torsione e di fase

angoli di torsione e di fase

  • r : raggio del cilindro di avvolgimento della doppia elica
  • φ : angolo di torsione: 36°
  • ω : angolo di fase: 126°

angolo di ascesa             angolo di inclinazione

angoli di ascesa e di inclinazione

Dettagli matematici: teorema della bisettrice

Euclide, Elementi, Prop. VI.3

calcolo dell'intercetta dell'asse di appaiamento sul lato di concatenazione dei triangoli

posizione del vertice di appaiamento

posizione del vertice di appaiamento G

|BF|/|FD| = |BC|/|CD| = cos(φ/2)

ponendo h=|AB|=|BD|, k=|BF|, si ha:
    k/(h-k) = cos(φ/2)
da cui ponendo f = |AF|/|AD| si deduce
f = (h+k)/2h = 1 - 1/2(1+cos(φ/2))
e anche |GC| = f r sin(φ)

esercizio : un'espressione equivalente a questa è:
|GC| = r cos(φ/2) sin(3φ/4) / cos(φ/4)

esercizio : |FG| = r(1 - f (1-cos(φ))

Butterflies con ali appaiate e concatenabili

verso della concatenazione: da triangoli a pentagoni

proiezione 2D orizzontale di una butterfly

butterfly 2D

progetto della proiezione 2D delle butterfly

progetto della proiezione 2D delle butterfly

costruzione CSG di un'ala di butterfly     incisione di etichetta su una faccia dell'ala

costruzione CSG di un'ala di butterfly, con incisione di etichetta

l'ordine di composizione delle rotazioni applicate al disco è importante

perché serve anche la rotazione del cilindro rispetto al suo asse (z)?

Connettori di appaiamento

perforare le punte delle ali per connetterle? No grazie... perché?

traslazione del connettore parallela all'asse di appaiamento

traslazione del connettore parallela all'asse di appaiamento

appaiamento con connettore traslato nel solco maggiore

appaiamento con connettore traslato nel solco maggiore

sezione per il calcolo della traslazione

sezione per il calcolo della traslazione

un connettore a sezionale esagonale regolare ha 6 simmetrie... troppe!

sezione del connettore estesa

sezione del connettore estesa per l'unicità dell'inserimento

inserimento unico del connettore con sezione estesa

inserimento unico del connettore con sezione estesa

Rappresentazione geometrica della complementarità

una caratteristica geometrica propria delle basi monomeriche del DNA ne limita le possibilità di appaiamento

inoltre, le masse molecolari dei quattro tipi di basi sono diverse

nel modello, le lunghezze delle scanalature per l'appaiamento nei quattro tipi di ali corrispondono all'ordine delle masse molecolari, con

pertanto, i connettori di appaiamento hanno tutti la stessa lunghezza

Modelli del DNA nelle mani dei bimbi

un modello accattivante del DNA, facile da realizzare:

però non si presta all'esecuzione di operazioni sul DNA, che stimolano l'attività creativa

esercizi di composizione, per difficoltà crescente:

Modelli del DNA nelle teste degli adolescenti

al livello superiore dell'istruzione, questo lavoro si presta a molteplici attività

Conclusioni?

work in progress!

la discussione è aperta