%
% TrasformataLaplace.tex
%

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\title[Trasformata di Laplace e FDT]{Trasformata di Laplace e \\Funzione di Trasferimento}
%%

\author[Corrado Santoro]
       {Corrado Santoro}

\date{ }

\institute[University of Catania]
  {
    \begin{center}
      \textbf{\red{}ARSLAB - Autonomous and Robotic Systems Laboratory}\\
      Dipartimento di Matematica e Informatica - Universit\`{a} di Catania, Italy\\
      \texttt{santoro@dmi.unict.it}\\
      \includegraphics[width=60pt]{robotEscher_Eura_blur.eps}\\%%~~~~\includegraphics[width=80pt]{logo_dmi.png}
      Programmazione Sistemi Robotici\\
    \end{center}
  }



\begin{document}

\frame{\titlepage}


\newcommand\LT[1]{\mathcal{L}\{#1\}}
\newcommand\ILT[1]{\mathcal{L}^{-1}\{#1\}}


%%
\begin{frame}[fragile]
%%
  \frametitle{Trasformata di Laplace}
%%
\begin{block}{Definizione}
La \textbf{trasformata di Laplace} \`{e} un operatore funzionale lineare che
associa ad una funzione $f(t)$ con $t\in\mathcal{R}$ una funzione $F(s)$
con $s\in\mathcal{C}$, $s=\sigma + \omega i$
\[
F(s) = \int_{0}^{+\infty}{e^{-st}f(t)dt}
\]
\[
F(s) = \mathcal{L}\{f(t)\}
\]
\end{block}
%%
\begin{block}{}
L'operazione inversa \`{e} l'\textbf{anti-trasformata di Laplace}:
\[
f(t) = \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}
\]
\end{block}
%%
\end{frame}
%%


%%
\begin{frame}[fragile]
%%
  \frametitle{Propriet\`{a} della trasformata di Laplace}
%%
\begin{itemize}
\item\textbf{\red{}Linearit\`{a}}: $\LT{af(t)} = a\LT{f(t)}$, con $a = cost$
\item\textbf{\red{}Linearit\`{a}}: $\LT{f_1(t) + f_2(t)} = \LT{f_1(t)} + \LT{f_2(t)}$
\item\textbf{\red{}Derivazione}: $\LT{f'(t)} = s\LT{f(t)} - f(0)$
\item\textbf{\red{}Integrazione}: $\LT{\int_{0}^{t}{f(\tau)d\tau}} = \frac{1}{s}\LT{f(t)}$
\item\textbf{\red{}Traslazione in $s$}: $\LT{e^{at}f(t)} = \LT{f(t)}(s-a)$
\item\textbf{\red{}Traslazione in $t$}: $\LT{f(t-a)u(t-a)} = e^{-as}\LT{f(t)}$
\item\textbf{\red{}Prodotto per $t^n$}: $(-1)^n\LT{t^nf(t)} = \frac{d^n\LT{f(t)}}{ds^n}$
\item\textbf{\red{}Teor. del valore iniziale}: $\lim_{t\rightarrow 0}{f(t)} = \lim_{s\rightarrow\infty}{sF(s)}$
\item\textbf{\red{}Teor. del valore finale}: $\lim_{t\rightarrow
  \infty}{f(t)} = \lim_{s\rightarrow 0}{sF(s)}$
\end{itemize}
\end{frame}
%%

%%
\begin{frame}[fragile]
%%
  \frametitle{Trasformate Notevoli}
%%
\begin{eqnarray*}
\hline & \\
f(t) & \LT{f}\\
\hline & \\
 \delta(t) & 1\\
 u(t) & \frac{1}{s}\\
 r(t) & \frac{1}{s^2}\\
 e^{at} & \frac{1}{s-a}\\
 e^{-at} & \frac{1}{s+a}\\
 \sin{at} & \frac{a}{s^2+a^2}\\
 e^{bt}\sin{at} & \frac{a}{(s-b)^2+a^2}\\
 \cos{at} & \frac{s}{s^2+a^2}\\
 e^{bt}\cos{at} & \frac{s-b}{(s-b)^2+a^2}\\
\end{eqnarray*}
\end{frame}


%%
%%


%%
\begin{frame}[fragile]
%%
  \frametitle{Massa su piano: con trasformata di Laplace}
%%
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.25]{massa_attrito.eps}
\end{center}
%%
\begin{eqnarray*}
M a(t) & =& f(t) - b v(t)\\
M \dot{v} &=& f - b v\\
\red{}V = \LT{v}& ~~~& \red{}F = \LT{f}\\
\red{}M(Vs - v(0)) &\red{}=& \red{}F - b V\\
v(0) &=& 0\\
\red{}MVs &\red{}=& \red{}F - b V\\
\red{}MVs + bV &\red{}=& \red{}F\\
\red{}V &\red{}=& \red{}\frac{1}{Ms + b} F
\end{eqnarray*}
%%
%%
%%
\end{frame}
%%


%%
\begin{frame}[fragile]
%%
  \frametitle{Massa su piano: risposta all'impulso}
%%
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.2]{massa_attrito.eps}
\end{center}
%%
\begin{eqnarray*}
\red{}V &\red{}=& \red{}\frac{1}{Ms + b} F
\end{eqnarray*}
%%
\small{}Sia $f(t) = \delta(t), F(s) = 1$:
\begin{eqnarray*}
\red{}V = \frac{1}{Ms + b} = \frac{1}{M} \frac{1}{s + \frac{b}{M}}
\end{eqnarray*}
%%
\small{}Anti-trasformiamo:
%%
\begin{eqnarray*}
\red{}v(t) = \frac{1}{M} \ILT{\frac{1}{s + \frac{b}{M}}}\\
\red{}v(t) = \frac{1}{M} e^{- \frac{b}{M} t}
\end{eqnarray*}
%%
\end{frame}
%%




%%
\begin{frame}[fragile]
%%
  \frametitle{Massa su piano: risposta al gradino}
%%
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.2]{massa_attrito.eps}
\end{center}
%%
\begin{eqnarray*}
\red{}V &\red{}=& \red{}\frac{1}{Ms + b} F
\end{eqnarray*}
%%
\small{}Sia $f(t) = \overline{F} u(t), F(s) = \overline{F}\frac{1}{s}$, con
$\overline{F} = cost$:
\begin{eqnarray*}
\red{}V = \frac{1}{Ms + b}  \frac{1}{s} \overline{F} = \frac{1}{M}
\frac{1}{s} \frac{1}{s + \frac{b}{M}} \overline{F}
\end{eqnarray*}
%%
\small{}Anti-trasformiamo:
%%
\begin{eqnarray*}
\red{}v(t) = \frac{1}{M} \ILT{ \frac{1}{s} \frac{1}{s + \frac{b}{M}} \overline{F}}\\
\red{}v(t) = \frac{\overline{F}}{M} \int_{0}^{t}{\ILT{\frac{1}{s + \frac{b}{M}}} d\tau}\\
\red{}v(t) = \frac{\overline{F}}{M} \int_{0}^{t}{e^{- \frac{b}{M} \tau}
  d\tau} = \frac{\overline{F}}{b} (1 - e^{- \frac{b}{M} t})
\end{eqnarray*}
%%
\end{frame}
%%


%%
\begin{frame}[fragile]
%%
  \frametitle{Funzione di Trasferimento}
%%
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.2]{massa_attrito.eps}
\end{center}
%%
\begin{eqnarray*}
V(s) & =& \frac{1}{Ms + b} F(s)\\
V(s) & = & \red{}G(s)\black{}F(s)
\end{eqnarray*}
%%
\begin{block}{}
${\red{}G(s)}$ \`{e} detta \textbf{funzione di trasferimento}; essa
caratterizza completamente il sistema ed \`{e} equivalente alla \textbf{risposta
all'impulso} del sistema stesso.
\end{block}
%%
\begin{block}{}
Nei sistemi lineari essa \`{e} una funzione fratta ${\red{}G(s) =
\frac{N(s)}{D(s)}}$ dove $N(s)$ e $D(s)$ sono due polinomi in $s$.
\end{block}
\end{frame}
%%


%%
\begin{frame}[fragile]
%%
  \frametitle{Calcolo della Funzione di Trasferimento}
%%
\[
\left\{
\begin{array}{rcl}
\dot{x} & = & A x + B u\\
y & = & C x + D u
\end{array}
\right.
\]
%%
\small{}Applichiamo la $\mathcal{L}-$trasformata (supp. $x(0) = 0$):
%%
\begin{eqnarray*}
sX - x(0) & = & A X + B U\\
sX & = & A X + B U\\
sX - A X & = & B U\\
(sI - A) X & = & B U\\
 X & = & (sI - A)^{-1} B U
\end{eqnarray*}
%%
\small{}Sostituiamo nella funzione di uscita:
%%
\begin{eqnarray*}
 Y & = & C(sI - A)^{-1} B U + D U\\
\red{} Y & \red{} = & \red{}(C(sI - A)^{-1} B + D) U\\
\red{} G(s) & \red{} = & \red{}(C(sI - A)^{-1} B + D)
\end{eqnarray*}
%%
\end{frame}
%%


%%
\begin{frame}[fragile]
%%
  \frametitle{Calcolo della Funzione di Trasferimento}
%%
\begin{block}{Funzione di Trasferimento}
Sia dato un sistema lineare descritto da:
\[
\left\{
\begin{array}{rcl}
\dot{x} & = & A x + B u\\
y & = & C x + D u
\end{array}
\right.
\]
\\
La funzione di trasferimento (in $s$) \`{e}:
\begin{eqnarray*}
\red{} G(s) & \red{} = & \red{}C(sI - A)^{-1} B + D
\end{eqnarray*}
\end{block}
%%
\end{frame}
%%


%%
\begin{frame}[fragile]
%%
  \frametitle{Poli e Zeri di una Funzione di Trasferimento}
%%
\begin{eqnarray*}
& & \red{} G(s)  = C(sI - A)^{-1} B + D = \frac{N(s)}{D(s)}
\end{eqnarray*}
%%
\begin{block}{Poli e Zeri}
Si definiscono \textbf{zeri del sistema} i valori di $s$ che annullano
$N(s)$.\\
~\\
Si definiscono \textbf{poli del sistema} i valori di $s$ che annullano
$D(s)$.\\
~\\
\textbf{I poli coincidono con gli autovalori di $A$} perch\`{e} $D(s)$
\`{e} coincide con il polinomio caratteristico di $A$.
\end{block}
%%
\end{frame}
%%



%%
\begin{frame}[fragile]
%%
  \frametitle{Poli e Zeri di una Funzione di Trasferimento}
%%
\begin{eqnarray*}
& & \red{} G(s)  = C(sI - A)^{-1} B + D = \frac{N(s)}{D(s)}
\end{eqnarray*}
%%
\begin{block}{Poli e Zeri}
Gli \textbf{zeri} rappresentano le \textbf{frequenze che annullano} l'uscita.\\
~\\
I \textbf{poli} (\textbf{modi}) rappresentano le \textbf{frequenze naturali
  del sistema}.\\
\end{block}
%%
\end{frame}
%%


%%
\begin{frame}[fragile]
%%
  \frametitle{Guadagno Statico di un Sistema}
%%
\begin{eqnarray*}
& & \red{} G(s)  = C(sI - A)^{-1} B + D = \frac{N(s)}{D(s)}
\end{eqnarray*}
%%
\begin{block}{Guadagno Statico}
Il \textbf{guadagno statico} di un sistema (asintoticamente stabile) \`{e}
il valore a regime della risposta al gradino:
\[
\lim_{s\rightarrow 0}{sG(s)U(s)} = \lim_{s\rightarrow 0}{sG(s)\frac{1}{s}} =
\lim_{s\rightarrow0}{G(s)}
\]
\end{block}
%%
\end{frame}
%%


\frame{\titlepage}


\end{document}
%%
%%

