%
% Stabilita.tex
%

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\title[Equilibrio e Stabilit\`{a}]{Equilibrio e Stabilit\`{a}}
%%

\author[Corrado Santoro]
       {Corrado Santoro}

\date{ }

\institute[University of Catania]
  {
    \begin{center}
      \textbf{\red{}ARSLAB - Autonomous and Robotic Systems Laboratory}\\
      Dipartimento di Matematica e Informatica - Universit\`{a} di Catania, Italy\\
      \texttt{santoro@dmi.unict.it}\\
      \includegraphics[width=60pt]{robotEscher_Eura_blur.eps}\\%%~~~~\includegraphics[width=80pt]{logo_dmi.png}
      Programmazione Sistemi Robotici\\
    \end{center}
  }



\begin{document}

\frame{\titlepage}



%%
\begin{frame}[fragile]
%%
  \frametitle{Equilibrio}
%%
\begin{block}{Definizione di Stato di Equilibrio}
Uno stato $\overline{x} = x(T^*)$ si definisce di \textbf{equilibrio} per
l'ingresso $u(t)$ se accade:
\[
f(\overline{x},u(t)) = 0, \forall t \ge T^*
\]
\end{block}
%%

~\\

%%
\begin{block}{Equilibrio e ingresso costante}
Sia $\overline{x} = x(T^*)$ punto di equilibrio per
l'ingresso $u(t)$, allora, detto $\overline{u} = u(T^*)$,
\textbf{$\overline{x}$
\`{e} punto di equilibrio anche per l'ingresso costante $\overline{u}$}.
\end{block}
%%

~\\

%%
La ricerca dei punti di equilibrio pu\`{o} pertanto ridursi a considerare
solo gli ingressi costanti.
%%
\end{frame}
%%



%%
\begin{frame}[fragile]
%%
  \frametitle{Equilibrio nei sistemi lineari continui}
%%
\begin{block}{Ricerca dei punti di equilibrio}
In un sistema LTI (lineare tempo-invariante)
\begin{itemize}
\item Se la matrice A \`{e} invertibile ($|A| \neq 0$), i punti di equilibrio sono le
soluzioni dell'equazione:
\[
\red
0 = Ax + B\overline{u}
\]
con $\overline{u} = cost$
%%
\begin{eqnarray*}
Ax & = & - B \overline{u}\\
x & = & - A^{-1}B\overline{u}
\end{eqnarray*}
\item Se la matrice A non \`{e} invertibile ($|A| = 0$), vi sono o {\red{}infiniti
  punti} di equilibrio o {\red{}nessun punto} di equilibrio (dipende
  dall'ingresso $\overline{u}$)
\end{itemize}
\end{block}
%%
\end{frame}
%%




%%
\begin{frame}[fragile]
%%
  \frametitle{Equilibrio nei sistemi lineari discreti}
%%
\begin{block}{Ricerca dei punti di equilibrio}
\small{}Un sistema discreto \`{e} caratterizzato dall'equazione di stato:
\[
x(k+1) = A x(k) + B u(k)
\]
\small{}L'equilibrio (per un ingresso $\overline{u}$) implica \textbf{assenza di
  variazione} dello stato, pertanto:
\begin{eqnarray*}
\overline{x} = A\overline{x} + B \overline{u} & ~~~ &
0  =  (A - I)\overline{x} + B\overline{u}
\end{eqnarray*}
%%
\begin{itemize}
\item\small{}Se la matrice $(A-I)$ \`{e} invertibile, i punti di equilibrio sono le
soluzioni dell'equazione:
\[x = - (A-I)^{-1}B\overline{u}\]
\item\small{}Se la matrice $(A-I)$ non \`{e} invertibile, vi sono o {\red{}infiniti
  punti} di equilibrio o {\red{}nessun punto} di equilibrio
\end{itemize}
\end{block}
%%
\end{frame}
%%




%%
\begin{frame}[fragile]
%%
  \frametitle{Punti di Equilibrio del sistema Massa-molla}
%%
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.15]{massa_molla_forzata.eps}
\end{center}
%%
%%
\small%%
\[
\left\{
\begin{array}{rcl}
\red
\begin{bmatrix}
\dot{x_1} \\ \dot{x_2}
\end{bmatrix}
& = &
\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
-\frac{k}{M} & -\frac{b}{M}
\end{bmatrix}
{\red%%
\begin{bmatrix}
x_1 \\ x_2
\end{bmatrix}}
+
\begin{bmatrix}
0 \\ \frac{1}{M}
\end{bmatrix}
{\blue%%
\begin{bmatrix}
F
\end{bmatrix}}
\\
{\green%%
\begin{bmatrix}
y
\end{bmatrix}}
& = &
\begin{bmatrix}
1 & 0
\end{bmatrix}
{\red%%
\begin{bmatrix}
x_1 \\ x_2
\end{bmatrix}}
\end{array}
\right.
\]
%%


\[
\left\{
\begin{array}{rcl}
\red
\begin{bmatrix}
0 \\ 0
\end{bmatrix}
& = &
\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
-\frac{k}{M} & -\frac{b}{M}
\end{bmatrix}
{\red%%
\begin{bmatrix}
x_1 \\ x_2
\end{bmatrix}}
+
\begin{bmatrix}
0 \\ \frac{1}{M}
\end{bmatrix}
{\blue%%
\begin{bmatrix}
F
\end{bmatrix}}
\end{array}
\right.
\]
%%

\[
\left\{
\begin{array}{rcl}
0 & = & x_2\\
0 & = & -\frac{k}{M}x_1 - \frac{b}{M}x_2 + \frac{1}{M}F
\end{array}
\right.
\]

\[
\left\{
\begin{array}{rcl}
x_1 & = & \frac{F}{k}\\
x_2 & = & 0
\end{array}
\right.
\]

\end{frame}
%%



%%
\begin{frame}[fragile]
%%
  \frametitle{}
%%
\begin{block}{~~}
\red\Large%%
Stabilit\`{a}
\end{block}
%%
\end{frame}
%%


%%
\begin{frame}[fragile]
%%
  \frametitle{Stabilit\`{a}}
%%
\begin{block}{Stabilit\`{a} Semplice}
Un punto di equilibrio $x_0 = x(T^*)$ si dice \textbf{stabile} quando, a
seguito di una perturbazione dello stato al tempo $\overline{t} \ge T^*$,
la traiettoria risultante rimane ``vicino'' il punto di equilibrio $x_0$
per ogni $t \ge \overline{t}$:
\[
\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0 :
\forall x(\overline{t}) : \| x(\overline{t}) - x_0 \| < \delta \Rightarrow
\]
\\
\[
\| x(t) - x_0 \| < \epsilon , \forall t \ge \overline{t}
\]
\end{block}
%%
\end{frame}
%%



%%
\begin{frame}[fragile]
%%
  \frametitle{Stabilit\`{a}}
%%
%%
\begin{block}{Stabilit\`{a} Asintotica}
Un punto di equilibrio $x_0 = x(T^*)$ si dice \textbf{asintoticamente
  stabile} quando, a
seguito di una perturbazione dello stato al tempo $\overline{t} \ge T^*$,
la traiettoria tende a  $x_0$ per $t \rightarrow \infty$:
\[
\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0 :
\forall x(\overline{t}) : \| x(\overline{t}) - x_0 \| < \delta \Rightarrow
\]
\\
\[
\lim_{t \rightarrow \infty}x(t) = x_0
\]
\end{block}
%%
\end{frame}
%%


%%
\begin{frame}[fragile]
%%
  \frametitle{Stabilit\`{a} nei Sistemi LTI}
%%
\begin{block}{Stabilit\`{a} nei Sistemi LTI}
In un sistema lineare tempo invariante, una traiettoria di stato \`{e}
\textbf{stabile} quando tutte le possibili traiettorie di stato sono
\textbf{stabili}.\\
In tal caso si parla di \textbf{stabilit\`{a} del sistema}.
\end{block}
%%

\end{frame}
%%






%%
\begin{frame}[fragile]
%%
  \frametitle{Stabilit\`{a} nei Sistemi LTI}
%%
\[
\left\{
\begin{array}{rcl}
\dot{x} & = & A x + B u\\
y & = & C x + D u
\end{array}
\right.
\]
%%
\begin{block}{Criterio di Stabilit\`{a} nei Sistemi LTI \textbf{continui}}
Un sistema LTI \`{e}
\begin{itemize}
\item\textbf{\red{}asintoticamente stabile} se gli autolavori di $A$ hanno
  \textbf{parte reale negativa}
\item\textbf{\red{}semplicemente stabile} se gli autolavori di $A$ hanno
  \textbf{parte reale negativa o nulla} e quelli con parte reale nulla
  sono \textbf{semplici}
\item\textbf{\red{}instabile} se gli autolavori di $A$ hanno
  \textbf{parte reale positiva} oppure se quelli con parte reale nulla
  \textbf{non sono semplici}
%%
\end{itemize}
Gli autovalori di $A$ sono detti \textbf{modi del sistema}
\end{block}
%%
\end{frame}
%%






%%
\begin{frame}[fragile]
%%
  \frametitle{Stabilit\`{a} nei Sistemi LTI}
%%
\[
\left\{
\begin{array}{rcl}
x(k+1) & = & A x(k) + B u(k)\\
y(k) & = & C x(k) + D u(k)
\end{array}
\right.
\]
%%
\begin{block}{Criterio di Stabilit\`{a} nei Sistemi LTI \textbf{discreti}}
Un sistema LTI \`{e}
\begin{itemize}
\item\textbf{\red{}asintoticamente stabile} se gli autolavori di $A$ hanno
  \textbf{modulo minore di $1$}
\item\textbf{\red{}semplicemente stabile} se gli autolavori di $A$ hanno
  \textbf{modulo minore o uguale a $1$} e quelli con modulo pari a $1$
  sono \textbf{semplici}
\item\textbf{\red{}instabile} se gli autolavori di $A$ hanno
  \textbf{modulo maggiore di $1$} oppure se quelli con modulo pari a $1$
  \textbf{non sono semplici}
%%
\end{itemize}
\end{block}
%%
\end{frame}
%%







%%
%%

\frame{\titlepage}


\end{document}
%%
%%