%
% SistemiControllo.tex
%

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\title[Sistemi di Controllo]{Sistemi di Controllo}
%%

\author[Corrado Santoro]
       {Corrado Santoro}

\date{ }

\institute[University of Catania]
  {
    \begin{center}
      \textbf{\red{}ARSLAB - Autonomous and Robotic Systems Laboratory}\\
      Dipartimento di Matematica e Informatica - Universit\`{a} di Catania, Italy\\
      \texttt{santoro@dmi.unict.it}\\
      \includegraphics[width=60pt]{robotEscher_Eura_blur.eps}\\%%~~~~\includegraphics[width=80pt]{logo_dmi.png}
      Programmazione Sistemi Robotici\\
    \end{center}
  }



\begin{document}

\frame{\titlepage}


\newcommand\LT[1]{\mathcal{L}\{#1\}}
\newcommand\ILT[1]{\mathcal{L}^{-1}\{#1\}}


%%
\begin{frame}[fragile]
%%
  \frametitle{Massa su piano}
%%
\small{}%%
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.25]{robot_attrito.eps}
\end{center}
Supponiamo che, nel sistema indicato, $f(t)$ sia derivante dalla spinta dei
motori, provocata a sua volta dall'applicazione di una certa
tensione/corrente ai motori stessi.\\
~\\
Il sistema \`{e} caratterizzato dal seguente modello:
\[
\red{}V(s) = \frac{1}{M}\frac{1}{s + \frac{b}{M}} F(s)
\]
La funzione di trasferimento \`{e} dunque:
\[
G(s) = \frac{1}{M}\frac{1}{s + \frac{b}{M}}
\]
con un polo in $\red{}s=-\frac{b}{M}$: il sistema \`{e} \textbf{asintoticamente stabile}
%%
\end{frame}
%%


%%
\begin{frame}[fragile]
%%
  \frametitle{Controllo di una massa su piano}
%%
\small{}%%
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.25]{robot_attrito.eps}
\end{center}
Desideriamo \textbf{controllare} questo sistema, modulando opportunamente
$\red{}F(s)$, affinch\`{e}:
\begin{itemize}
\item L'uscita \textbf{a regime} sia pari ad un valore prefissato
  $\overline{v}$
\item Il \textbf{transitorio} duri un tempo prefissato
\end{itemize}
%%
\end{frame}
%%




%%
\begin{frame}[fragile]
%%
  \frametitle{Controllo a ``ciclo chiuso''}
%%
\footnotesize{}%%
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.25]{schema_controllo.eps}
\end{center}
Modifichiamo il sistema complessivo nel seguente modo:
\begin{enumerate}
\item Sia $U(s)$ il nostro \textbf{riferimento} cio\`{e} il \textbf{valore
  prefissato} che desideriamo che il sistema raggiunga
\item Attraverso un sensore che misura $V(s)$, \textbf{confrontiamo}
  (tramite sottrazione) l'uscita con il valore desiderato $U(s)$
\item La differenza $\red{}E(s) = U(s) - V(s)$ \`{e} l'\textbf{errore} che
  il sistema complessivo sta commettendo nel ``tentare'' di seguire il
  riferimento
\item Usiamo l'errore come ingresso ad un nuovo sistema, costruito ad hoc,
  denominato \textbf{\red{}controllore} $C(s)$ che genera (a partire
  dall'errore) il segnale da applicare ai motori
\end{enumerate}
%%
\end{frame}
%%



%%
\begin{frame}[fragile]
%%
  \frametitle{Controllo a ``ciclo chiuso''}
%%
\footnotesize{}%%
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.2]{schema_controllo.eps}
\end{center}
Questo \`{e} un tipico schema di controllo ed ha diverse denominazioni:
\begin{itemize}
\item Sistema \textbf{retroazionato} o \textbf{controreazionato}
\item Controllo \textbf{a ciclo chiuso (closed-loop)}
\item Controllo \textbf{ad anello chiuso (closed-loop)}
\end{itemize}
%%
La funzione di trasferimento ingresso-uscita $U(s)\rightarrow V(s)$ \`{e}
\[\red{}
H_{CL}(s) = \frac{C(s)G(s)}{1 + C(s)G(s)}
\]
%%
La funzione di trasferimento ingresso-errore $U(s)\rightarrow E(s)$ \`{e}
\[\red{}
H_{E}(s) = \frac{1}{1 + C(s)G(s)}
\]
\end{frame}
%%



%%
\begin{frame}[fragile]
%%
  \frametitle{Valore a regime sull'uscita}
%%
\footnotesize{}%%
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.2]{schema_controllo.eps}
\end{center}
\begin{eqnarray*}
H_{CL}(s) = \frac{C(s)G(s)}{1 + C(s)G(s)}
\end{eqnarray*}
%%
Sia $U(s) = \frac{\overline{v}}{s}$, cio\`{e} un gradino di ampiezza
$\overline{v}$, allora il \textbf{valore a regime dell'uscita} \`{e}
(teorema del valore finale):
%%
\begin{eqnarray*}
& & \red{}v' = \lim_{s\rightarrow 0}{s V(s)} = \lim_{s\rightarrow 0}{s
    H_{CL}(s)U(s)} = \lim_{s\rightarrow 0}{s H_{CL}(s)
    \frac{\overline{v}}{s}} = \lim_{s\rightarrow 0}{H_{CL}(s)\overline{v}}
\end{eqnarray*}
%%
Affinche' (a regime) l'uscita ``segua'' l'ingresso allora $C(s)$ deve
essere tale che:
\[
\red{}\lim_{s\rightarrow 0}{H_{CL}(s)} = 1
\]
\end{frame}
%%




%%
\begin{frame}[fragile]
%%
  \frametitle{Valore a regime sull'errore}
%%
\footnotesize{}%%
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.2]{schema_controllo.eps}
\end{center}
\begin{eqnarray*}
H_{E}(s) = \frac{1}{1 + C(s)G(s)}
\end{eqnarray*}
%%
Sia $U(s) = \frac{\overline{v}}{s}$, cio\`{e} un gradino di ampiezza
$\overline{v}$, allora il \textbf{valore a regime dell'errore} \`{e}
(teorema del valore finale):
%%
\begin{eqnarray*}
& & \red\lim_{s\rightarrow 0}{s E(s)} = \lim_{s\rightarrow 0}{s
    H_{E}(s)U(s)} = \lim_{s\rightarrow 0}{s H_{E}(s)
    \frac{\overline{v}}{s}} = \lim_{s\rightarrow 0}{H_{E}(s)\overline{v}}
\end{eqnarray*}
%%
Affinche' (a regime) l'uscita ``segua'' l'ingresso allora l'errore
\textbf{deve annullarsi}, quindi $C(s)$ deve essere tale che:
\[
\red{}\lim_{s\rightarrow 0}{H_{E}(s)} = 0
\]
\end{frame}
%%



%%
\begin{frame}[fragile]
%%
  \frametitle{Durata del transitorio}
%%
\footnotesize{}%%
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.2]{schema_controllo.eps}
\end{center}
\begin{eqnarray*}
H_{CL}(s) = \frac{C(s)G(s)}{1 + C(s)G(s)}
\end{eqnarray*}
%%
La durata del transitorio di un sistema \`{e} (circa) $\frac{3}{-Re(p)}$
dove $p$ \`{e} il polo \textbf{pi\`{u} vicino} all'asse immaginario (polo
dominante).\\
%%
~\\
%%
\red{}Se il requisito \`{e} un transitorio che duri (circa) $\overline{T}$,
allora $C(s)$ deve essere tale che il \textbf{polo dominante} $\overline{p}$ di
$H_{CL}(s)$ sia $\simeq\frac{3}{-Re(p)}$.
%%
\end{frame}
%%


%%
\begin{frame}[fragile]
%%
  \frametitle{Sintesi del Controllore}
%%
\begin{itemize}
\item\footnotesize{}La progettazione di un controllore $C(s)$ che consenta, al sistema a
  ciclo chiuso, di rispettare determinati requisiti \`{e} detta
  \textbf{sintesi}
\item I metodi noti in letteratura sono due tipi
  \begin{enumerate}
  \item\red\footnotesize{}\textbf{Analitici}
  \item\red\footnotesize{}\textbf{Empirici}
  \end{enumerate}
\item\textbf{Analitici}
  \begin{itemize}
  \item\footnotesize{}a partire dalle specifiche si determina il
    \textbf{guadagno statico} e la \textbf{posizione dei poli dominanti} di
    $H_{CL}(s)$; a seguire si determina $C(s)$
  \end{itemize}
\item\textbf{Empirici}
  \begin{itemize}
  \item\footnotesize{}si usano delle \textbf{forme standard} di
    controllore $C(s)$, in cui variando alcuni parametri numerici, \`{e}
    possibile variare il comportamento della $H_{CL}(s)$
  \item Se il comportamento non \`{e} quello desiderato, si aggiustano via
    via tali parametri
  \end{itemize}
\end{itemize}
\end{frame}
%%
%%



%%
\begin{frame}[fragile]
%%
  \frametitle{Andamento dei Poli: Luogo delle Radici}
%%
\begin{itemize}
%%
\item\footnotesize{}Il \textbf{luogo delle radici} \`{e} una curva sul
  piano complesso che rappresenta l'andamento dei \textbf{\red{}poli a
    ciclo chiuso} al variare dei parametri del controllore
%%
\item E' un metodo utilizzato per comprendere come si modifica il sistema e
  per determinare i poli desiderati della funzione a ciclo chiuso
%%
\end{itemize}
%%
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.3]{rootlocus.eps}
\end{center}
%%
\end{frame}
%%


%%
\begin{frame}[fragile]
%%
  \frametitle{Sintesi: Controllore Proporzionale}
%%
\footnotesize{}%%
Consideriamo:
\begin{itemize}
\item\footnotesize{}un sistema del primo ordine
$G(s) =  \frac{\alpha}{s+\beta}$, con $\alpha, \beta > 0$
\item un controllore \textbf{puramente proporzionale} $C(s) = K_p$
\end{itemize}
%%
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.2]{controllore_proporzionale.eps}
\end{center}
\begin{eqnarray*}
H_{CL}(s) & = & \frac{K\alpha}{s + \beta + K\alpha}\\
H_{E}(s) & = & \frac{s+\beta}{s + \beta + K\alpha}
\end{eqnarray*}
%%
%%
\end{frame}
%%



%%
\begin{frame}[fragile]
%%
  \frametitle{Controllore Proporzionale: Transitorio}
%%
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.2]{controllore_proporzionale.eps}
\end{center}
\begin{eqnarray*}
G(s) =  \frac{\alpha}{s+\beta},\alpha, \beta > 0 & & \mathrm{polo~in} -\beta\\
H_{CL}(s) = \frac{K_p\alpha}{s + \beta + K_p\alpha} & & \mathrm{polo~in} -(\beta+K_p\alpha)\\
\end{eqnarray*}
%%
Il sistema a ciclo chiuso \`{e} \textbf{\red{}pi\`{u} veloce} (secondo $K_p$)
del sistema a ciclo aperto\\
~\\
Il controllore proporzionale \textbf{ha migliorato} la dinamica
%%
\end{frame}
%%



%%
\begin{frame}[fragile]
%%
  \frametitle{Controllore Proporzionale: Luogo delle Radici}
%%
\begin{eqnarray*}
H_{CL}(s) = \frac{K_p\alpha}{s + \beta + K_p\alpha} & & \mathrm{polo~in} -(\beta+K_p\alpha)\\
\end{eqnarray*}
%%
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.25]{rootlocus_kp.eps}
\end{center}
%%
\end{frame}
%%



%%
\begin{frame}[fragile]
%%
  \frametitle{Controllore Proporzionale: Errore a Regime}
%%
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.2]{controllore_proporzionale.eps}
\end{center}
\begin{eqnarray*}
G(s) & = & \frac{\alpha}{s+\beta},\alpha, \beta > 0\\
H_{E}(s) & = & \frac{s + \beta}{s + \beta + \alpha K_p}\\
& & \\
errore & = & \lim_{s\rightarrow 0}{H_{E}(s)} = \frac{\beta}{\beta + \alpha K_p}
\end{eqnarray*}
%%
L'errore a regime \textbf{\red{}si riduce} tanto pi\`{u} grande \`{e} $K_p$,
ma \textbf{\red{} non si annulla mai!}\\
%%
L'uscita avr\`{a} sempre un errore non nullo rispetto al riferimento
%%
\end{frame}
%%



%%
\begin{frame}[fragile]
%%
  \frametitle{Sintesi: Controllore Integratore}
%%
\footnotesize{}%%
Consideriamo:
\begin{itemize}
\item\footnotesize{}un sistema del primo ordine
$G(s) =  \frac{\alpha}{s+\beta}$, con $\alpha, \beta > 0$
\item un controllore di tipo \textbf{integratore} $C(s) = \frac{K_i}{s}$
\end{itemize}
%%
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.2]{controllore_integrale.eps}
\end{center}
\begin{eqnarray*}
H_{CL}(s) & = & \frac{\alpha K_i}{s^2 + s\beta + \alpha K_i}\\
H_{E}(s) & = & \frac{s(s+\beta)}{s^2 + s\beta + \alpha K_i}
\end{eqnarray*}
%%
%%
\end{frame}
%%


%%
\begin{frame}[fragile]
%%
  \frametitle{Controllore Integratore: Poli a ciclo chiuso}
%%
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.15]{controllore_integrale.eps}
\end{center}
\footnotesize{}%%
\begin{eqnarray*}
G(s) =  \frac{\alpha}{s+\beta},\alpha, \beta > 0 & & \mathrm{polo~in} -\beta\\
H_{CL}(s) = \frac{\alpha K_i}{s^2 + s\beta + \alpha K_i} & &
\end{eqnarray*}
%%
Il sistema a ciclo chiuso ha i poli in:
\begin{eqnarray*}
p & = & \frac{-\beta \pm \sqrt{\beta^2 - 4\alpha K_i}}{2}
\end{eqnarray*}
%%
\red{Se $\beta^2 - 4\alpha K_i < 0$}, i poli diventano \textbf{complessi
  e coniugati} $\Rightarrow$ il sistema diventa del secondo ordine con
\textbf{risposta oscillatoria smorzata}
%%

%%
\end{frame}
%%




%%
\begin{frame}[fragile]
%%
  \frametitle{Controllore Integratore: Transitorio}
%%
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.15]{controllore_integrale.eps}
\end{center}
\footnotesize{}%%
\begin{eqnarray*}
G(s) =  \frac{\alpha}{s+\beta},\alpha, \beta > 0 & & \mathrm{polo~in} -\beta\\
H_{CL}(s) = \frac{\alpha K_i}{s^2 + s\beta + \alpha K_i} & & \mathrm{poli~in} \frac{-\beta \pm \sqrt{\beta^2 - 4\alpha K_i}}{2}
\end{eqnarray*}
%%
\begin{itemize}
\item Se $\beta^2 - 4\alpha K_i \ge 0$, il sistema ha un \textbf{due poli
  reali}, uno dei due \`{e}  \textbf{pi\`{u} vicino all'asse immaginario}
  rispetto e $-\beta$
         {\red$\Rightarrow$ il sistema \`{e} \textbf{pi\`{u} lento!}}
\item Se $\beta^2 - 4\alpha K_i < 0$, il sistema ha \textbf{due poli complessi e
  coniugati}, la {\red{} parte reale} \`{e} $-\frac{\beta}{2}$
    {\red$\Rightarrow$ il sistema \`{e} \textbf{pi\`{u} lento} e presenta
      una risposta \textbf{oscillatoria smorzata}}
\end{itemize}
%%

%%
\end{frame}
%%



%%
\begin{frame}[fragile]
%%
  \frametitle{Controllore Integratore: Luogo delle Radici}
%%
\begin{eqnarray*}
H_{CL}(s) = \frac{\alpha K_i}{s^2 + s\beta + \alpha K_i} & & \mathrm{poli~in} \frac{-\beta \pm \sqrt{\beta^2 - 4\alpha K_i}}{2}
\end{eqnarray*}
%%
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.25]{rootlocus_ki.eps}
\end{center}
%%
\end{frame}
%%






%%
\begin{frame}[fragile]
%%
  \frametitle{Controllore Integratore: Errore a Regime}
%%
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.15]{controllore_integrale.eps}
\end{center}
\footnotesize{}%%
\begin{eqnarray*}
& & G(s) =  \frac{\alpha}{s+\beta},\alpha, \beta > 0\\
& & H_{E}(s) = \frac{s(s+\beta)}{s^2 + s\beta + \alpha K_i}
\end{eqnarray*}
%%
\begin{eqnarray*}
& &\red\lim_{s\rightarrow 0}{H_{E}(S)} = \lim_{s\rightarrow
  0}{\frac{s(s+\beta)}{s^2 + s\beta + \alpha K_i}} = 0
\end{eqnarray*}
%%
Il controllore integratore \textbf{\red{}annulla l'errore a regime!}

%%
\end{frame}
%%




%%
\begin{frame}[fragile]
%%
  \frametitle{Sintesi: Controllore Proporzionale-Integrale}
%%
\footnotesize{}%%
Consideriamo:
\begin{itemize}
\item\footnotesize{}un sistema del primo ordine
$G(s) =  \frac{\alpha}{s+\beta}$, con $\alpha, \beta > 0$
\item un controllore di tipo \textbf{proporzionale-integrale (PI)} $C(s) =
  K_p + \frac{K_i}{s}$
\end{itemize}
%%
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.2]{controllore_PI.eps}
\end{center}
\begin{eqnarray*}
H_{CL}(s) & = & \frac{\alpha s + \alpha K_i}{s^2 + s(\beta + \alpha K_p) + \alpha K_i}\\
H_{E}(s) & = & \frac{s(s+\beta)}{s^2 + s(\beta + \alpha K_p) + \alpha K_i}
\end{eqnarray*}
%%
%%
\end{frame}
%%



%%
\begin{frame}[fragile]
%%
  \frametitle{Controllore Proporzionale-Integrale: Poli a ciclo chiuso}
%%
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.2]{controllore_PI.eps}
\end{center}
\footnotesize{}%%
\begin{eqnarray*}
G(s) =  \frac{\alpha}{s+\beta},\alpha, \beta > 0 & & \mathrm{polo~in} -\beta\\
H_{CL}(s) = \frac{\alpha s + \alpha K_i}{s^2 + s(\beta + \alpha K_p) + \alpha K_i} & &
\end{eqnarray*}
%%
Il sistema a ciclo chiuso ha i poli in:
\begin{eqnarray*}
\red{}p & \red{}= & \red\frac{-(\beta+\alpha K_p) \pm \sqrt{(\beta+\alpha K_p)^2 - 4\alpha K_i}}{2}
\end{eqnarray*}
%%
%%

%%
\end{frame}
%%



%%
\begin{frame}[fragile]
%%
  \frametitle{Controllore Proporzionale-Integrale: Transitorio}
%%
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.15]{controllore_PI.eps}
\end{center}
\footnotesize{}%%
\begin{eqnarray*}
G(s) =  \frac{\alpha}{s+\beta},\alpha, \beta > 0 & & \mathrm{polo~in}
-\beta\\
H_{CL}(s) = \frac{\alpha s + \alpha K_i}{s^2 + s(\beta + \alpha K_p) +
  \alpha K_i}
& &
p = \frac{-(\beta+\alpha K_p) \pm \sqrt{(\beta+\alpha K_p)^2 - 4\alpha K_i}}{2}
\end{eqnarray*}
%%
\begin{itemize}
\item Se $(\beta+\alpha K_p)^2 - 4\alpha K_i \ge 0$, il sistema ha un \textbf{due poli
  reali}, \textbf{pi\`{u} lontani dall'asse immaginario}
  rispetto e $-\beta$ \textbf{per determinati valori di $K_p$ e $K_i$}
         {\red$\Rightarrow$ il sistema pu\`{o} essere \textbf{pi\`{u} veloce!}}
\item Se $\beta^2 - 4\alpha K_i < 0$, il sistema ha \textbf{due poli complessi e
  coniugati}, la {\red{} parte reale} \`{e} $-\frac{\beta + \alpha K_p}{2}$
    {\red$\Rightarrow$ il sistema pu\`{o} essere \textbf{pi\`{u} veloce}}
    ma presenta una risposta \textbf{oscillatoria smorzata}
\end{itemize}
%%
%%
\end{frame}
%%



%%
\begin{frame}[fragile]
%%
  \frametitle{Controllore Proporzionale-Integrale: Errore a Regime}
%%
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.15]{controllore_PI.eps}
\end{center}
\footnotesize{}%%
\begin{eqnarray*}
& & G(s) =  \frac{\alpha}{s+\beta},\alpha, \beta > 0\\
& & H_{E}(s) = \frac{s(s+\beta)}{s^2 + s(\beta + \alpha K_p) + \alpha K_i}
\end{eqnarray*}
%%
\begin{eqnarray*}
& &\red\lim_{s\rightarrow 0}{H_{E}(S)} = \lim_{s\rightarrow
  0}{\frac{s(s+\beta)}{s^2 + s(\beta + \alpha K_p) + \alpha K_i}} = 0
\end{eqnarray*}
%%
Il controllore PI \textbf{\red{}annulla l'errore a regime!}

%%
\end{frame}
%%



%%
\begin{frame}[fragile]
%%
  \frametitle{Sintesi: Controllore Derivatore}
%%
\footnotesize{}%%
\begin{itemize}
\item\footnotesize{}Il controllore PI pu\`{o} non essere sufficiente nel caso di sistemi
particolarmente ``lenti'' (es. \textbf{controllo di temperatura}, sistemi meccanici
con \textbf{elevata inerzia}).
\item Il controllore PI \textbf{non pu\`{o}} ridurre la
  dinamica pi\`{u} di tanto senza provocare sovraelongazione e oscillazioni
  smorzate.
\item L'aggiunta di un'azione \textbf{\red{}derivativa} sull'errore
  {\red{}$C(s) = K_d s$} permette di agire sulla \textbf{\red{}velocit\`{a}
  dell'errore} e quindi \textbf{amplificarla} allo scopo di ridurre il
  tempo di raggiungimento del target.
\item Tuttavia l'azione derivativa pu\`{o} causare segnali \textbf{\red{}molto elevati}
  quando l'errore cambia repentinamente; per tale motivo si aggiunge spesso
  un \textbf{filtro passa-basso} prima della componente derivativa.
\end{itemize}

%%
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.2]{controllore_derivativo.eps}
\end{center}
%%
%%
\end{frame}
%%






%%
\begin{frame}[fragile]
%%
  \frametitle{Controllore PID}
%%
\footnotesize{}%%
\begin{itemize}
\item\footnotesize{}Il \textbf{\red{}PID} \`{e} un controllore standard che
  include le tre azioni
  \emph{proporzionale}/\emph{integrale}/\emph{derivativa}.
\item Ogni azione \`{e} regolata da una costante $K_p$, $K_i$ e $K_d$
\item Se il valore di una costante \`{e} $0$, la rispettiva azione e'
  assente.
\item La funzione di trasferimento del controllore \`{e}:
\[
C(s) = K_p + \frac{K_i}{s} + K_d s
\]
\end{itemize}

%%
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.3]{controllore_pid.eps}
\end{center}
%%
%%
\end{frame}
%%



%%
\begin{frame}[fragile]
%%
  \frametitle{Taratura PID: Metodo Zieger-Nichols}
%%
\footnotesize{}%%
\begin{enumerate}
\item\footnotesize{}Si pone $K_i = 0$ e $K_d=0$
\item Si aumenta gradualmente $K_p$ fin quando non si porta il sistema ad
  oscillare, il valore raggiunto dalla costante $K_u = K_p$ \`{e} detto
  \textbf{guadagno critico}
\item Si misura il \textbf{periodo} $P_u$ delle oscillazioni
\item Si impostano le costanti secondo la seguente tabella:
\end{enumerate}

\begin{centering}
\begin{tabular}{||c|c|c|c||}
\hline\hline
Tipo & $K_p$ & $K_i$ & $K_d$ \\
\hline
P & $0.5 K_u$ & $0$ & $0$ \\
\hline
PI & $0.45 K_u$ & $\frac{1.2 K_p}{P_u}$ & $0$ \\
\hline
PID & $0.6 K_u$ & $\frac{2 K_p}{P_u}$ & $\frac{K_pP_u}{8}$ \\
\hline\hline
\end{tabular}
\end{centering}

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\begin{frame}[fragile]
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  \frametitle{Taratura PID: Metodo Empirico}
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\begin{enumerate}
\item\footnotesize{}Si pone $K_i = 0$ e $K_d=0$
\item Si aumenta gradualmente $K_p$ controllando che la risposta al gradino
  non presenti sovraelongazioni; si effettua il test con gradini di varie
  ampiezze (qualora sia necessario)
\item Se il sistema presenta un errore a regime, si aumenta gradualmente
  $K_i$, valutando l'assenza di sovraelongazioni e/o oscillazioni e il
  tempo di raggiungimento del target
\item Se il sistema presenta delle sovraelongazioni, si adattano gradualmente
  $K_p$ e $K_i$
\item Qualora sia necessario, si aumenta gradualmente $K_d$ per migliorare
  la ``velocit\`{a}'' del sistema
\end{enumerate}


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\frame{\titlepage}


\end{document}
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