%
% ElementiTDS.tex
%

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\title[Risposta di un sistema]{Segnali Canonici e\\Risposta di un Sistema}
%%

\author[Corrado Santoro]
       {Corrado Santoro}

\date{ }

\institute[University of Catania]
  {
    \begin{center}
      \textbf{\red{}ARSLAB - Autonomous and Robotic Systems Laboratory}\\
      Dipartimento di Matematica e Informatica - Universit\`{a} di Catania, Italy\\
      \texttt{santoro@dmi.unict.it}\\
      \includegraphics[width=60pt]{robotEscher_Eura_blur.eps}\\%%~~~~\includegraphics[width=80pt]{logo_dmi.png}
      Programmazione Sistemi Robotici\\
    \end{center}
  }



\begin{document}

\frame{\titlepage}


%%
\begin{frame}[fragile]
%%
  \frametitle{Segnali Canonici}
%%
Si definiscono alcuni ``segnali'' (input) canonici che sono quelli pi\`{u}
spesso utilizzati per studiare un sistema e capirne il comportamento.
%%
\begin{itemize}
\item\textbf{Impulso} o \textbf{delta di Dirac}
\item\textbf{Gradino unitario}
\item\textbf{Rampa}
\end{itemize}
%%
\end{frame}
%%



%%
\begin{frame}[fragile]
%%
  \frametitle{Delta di Dirac}
%%
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.3]{delta_dirac.eps}
\end{center}
%%
Il \textbf{delta di Dirac} $\delta(t)$ o segnale impulsivo \`{e}
matematicamente definito come segue:
\[
\left\{
\begin{array}{rcl}
\delta(t) & = & 0, \forall t \neq 0\\
\delta(t) & = & +\infty, t = 0\\
\int_{-\infty}^{+\infty}{\delta(t)dt} & = & 1
\end{array}
\right.
\]
%%
Esso \`{e} utilizzato per definire un fenomeno fisico di grande
intensit\`{a} ma di durata infinitesima.
%%
\end{frame}
%%





%%
\begin{frame}[fragile]
%%
  \frametitle{Gradino Unitario}
%%
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.3]{step.eps}
\end{center}
%%
Il \textbf{gradino unitario} $u(t)$  \`{e}
un segnale costante definito come segue:
\[
\left\{
\begin{array}{rcl}
u(t) & = & 0, \forall t < 0\\
u(t) & = & 1, \forall t \ge 0
\end{array}
\right.
\]
%%
Esso \`{e} utilizzato per modella l'applicazione, al tempo $0$, di uno
stimolo costante ad un sistema.
%%
\end{frame}
%%






%%
\begin{frame}[fragile]
%%
  \frametitle{Rampa}
%%
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.3]{ramp.eps}
\end{center}
%%
La \textbf{rampa} $r(t)$  \`{e}
un segnale crescente definito come segue:
\[
\left\{
\begin{array}{rcl}
r(t) & = & 0, \forall t < 0\\
r(t) & = & t, \forall t \ge 0
\end{array}
\right.
\]
%%
Esso \`{e} utilizzato per modella l'applicazione ad un sistema, al tempo
$0$, di uno stimolo che cresce indefinitamente.
%%
\end{frame}
%%


%%
\begin{frame}[fragile]
%%
  \frametitle{Relazione tra Segnali Canonici}
%%
I segnali canonici godono di questa propriet\`{a}:
%%
\begin{eqnarray*}
\int_{0}^{t}{\delta(\tau)d\tau} = u(t)\\
\int_{0}^{t}{u(\tau)d\tau} = r(t)\\
\frac{d u(t)}{dt} = \delta(t)\\
\frac{d r(t)}{dt} = u(t)
\end{eqnarray*}
%%
\end{frame}
%%



%%
\begin{frame}[fragile]
%%
  \frametitle{Composizione di segnali canonici}
%%
\begin{itemize}
\item\textbf{\red{}Traslazione nel tempo} di un fattore $\overline{T}$ (in
  avanti): $s(t) \rightarrow s(t - \overline{T})$
\item\textbf{\red{}Segnale rettangolare}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.2]{rect.eps}
\end{center}
\end{itemize}
%%
\end{frame}
%%






%%
\begin{frame}[fragile]
%%
  \frametitle{Risposte tipiche di un sistema al gradino unitario}
%%
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.2]{step_response_typical.eps}
\end{center}
%%
\begin{itemize}
\item\textbf{\red{}(a)} Sistema stabile con autovalori reali negativi
\item\textbf{\red{}(b)} Sistema stabile con autovalori complessi e
  coniugati (a parte reale negativa)
\end{itemize}
%%
\end{frame}
%%



%%
\begin{frame}[fragile]
%%
  \frametitle{Caratteristiche delle risposte al gradino}
%%
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.2]{step_response_typical_2.eps}
\end{center}
%%
\begin{itemize}
\item\textbf{\red{}Transitorio:} risposta del sistema nella parte iniziale
  dell'evoluzione a partire dallo stato di quiete
\item\textbf{\red{}Regime:} risposta del sistema dopo l'esaurimento del
  transitorio
\end{itemize}
%%
\end{frame}
%%



%%
\begin{frame}[fragile]
%%
  \frametitle{Caratteristiche delle risposte al gradino}
%%
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.4]{step_response_parameters.eps}
\end{center}
%%
\begin{itemize}
\item\textbf{\red{}Guadagno a regime:} $K = \lim_{t\rightarrow\infty}y(t)$
\item\textbf{\red{}Tempo di salita:} $TS$, tempo impiegato dall'uscita,
  durante il transitorio, per passare dal 10\% al 90\% del valore del
  guadagno a regime $K$
\end{itemize}
%%
\end{frame}
%%




%%
\begin{frame}[fragile]
%%
  \frametitle{Caratteristiche delle risposte al gradino}
%%
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.4]{step_response_parameters_2.eps}
\end{center}
%%
\begin{itemize}
\item\textbf{\red{}Sovraelongazione:} $S = \frac{y_{max} - K}{K}$,
  percentuale massima di scostamento dall'uscita dal valore a regime
\item\textbf{\red{}Tempo di assestamento:} $TA$, tempo impiegato dall'uscita,
  durante il transitorio, stabilizzarsi nell'intorno del guadagno a regime
  (2\% - 5\% di scostamento da $K$)
\end{itemize}
%%
\end{frame}
%%


%%
\begin{frame}[fragile]
%%
  \frametitle{Poli e risposta al gradino}
%%
\begin{block}{}
\red\textbf{Relazione tra i poli e la risposta al gradino}
\end{block}
%%
\end{frame}
%%



%%
\begin{frame}[fragile]
%%
  \frametitle{Sistema del primo ordine}
%%
\small%%
\[
G(s) = \frac{\alpha}{s+\beta}
\]
con $\alpha, \beta > 0$.\\
~\\
Il sistema ha un polo in $-\beta$, quindi \`{e} asintoticamente stabile.\\
La riposta al gradino \`{e}:
\[
y(t) = \frac{\alpha}{\beta}(1 - e^{-\beta t})
\]
Il valore del polo $-\beta$ influenza la ``crescita'' del fattore
esponenziale.\\
\begin{itemize}
\item Pi\`{u} vicino \`{e} il polo all'origine, pi\`{u} importante \`{e} il
  contributo di $e^{-\beta t}$ $\rightarrow$ \textbf{\red{}pi\`{u} lento
    \`{e} il sistema}
\item Pi\`{u} lontano \`{e} il polo dall'origine, meno importante \`{e} il
  contributo di $e^{-\beta t}$ $\rightarrow$ \textbf{\red{}pi\`{u} veloce
    \`{e} il sistema}
\end{itemize}
\end{frame}
%%




%%
\begin{frame}[fragile]
%%
  \frametitle{Sistema del primo ordine}
%%
\small%%
\[
G(s) = \frac{\alpha}{s+\beta}
\]
con $\alpha, \beta > 0$.\\
~\\
Riposta al gradino:
\[
y(t) = \frac{\alpha}{\beta}(1 - e^{-\beta t})
\]
Il polo $-\beta$ ha dimensioni di \textbf{frequenza} ($Hz = sec^{-1}$).\\
{\red{}Il valore $T = \frac{1}{\beta}$ \`{e} detto \textbf{costante di
    tempo} del sistema}:
\[
y(t) = \alpha T(1 - e^{-\frac{t}{T}})
\]
Il tempo di salita \`{e} (circa) 3 volte la costante di tempo:
\[
\red{} T_S \simeq 3T = \frac{3}{\beta}
\]
\end{frame}
%%


%%
\begin{frame}[fragile]
%%
  \frametitle{Sistema del secondo ordine con poli complessi e coniugati}
%%
\footnotesize%%
\[
G(s) = \frac{\alpha}{s^2+s\beta + s\gamma}
\]
con poli $ - \sigma \pm i \omega, \sigma > 0$.\\
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.25]{poli_cc.eps}
\end{center}
Il sistema \`{e} \textbf{asintoticamente stabile} e
la riposta al gradino \`{e}:
\begin{eqnarray*}
\red{}y(t) & \red{}=& \red{}K (1 - \frac{e^{-\sigma t}}{\sqrt{1-\delta^2}} \sin(\omega t +
\phi))\\
\delta & = & \cos \phi
\end{eqnarray*}
\end{frame}
%%




%%
\begin{frame}[fragile]
%%
  \frametitle{Sistema del secondo ordine con poli complessi e coniugati}
%%
\scriptsize%%
Poli: $ - \sigma \pm i \omega, \sigma > 0$, $\phi = $ angolo, $\delta = \cos \phi$
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.2]{poli_cc.eps}~~~%
\includegraphics[scale=0.2]{step_response_parameters_2.eps}
\end{center}
\begin{eqnarray*}
y(t) & =& K (1 - \frac{e^{-\sigma t}}{\sqrt{1-\delta^2}} \sin(\omega t +
\phi))\\
1 - \frac{e^{-\sigma t}}{\sqrt{1-\delta^2}} & ~ & \mathrm{Componente~smorzante}\\
\sin(\omega t + \phi) & ~ & \mathrm{Componente~oscillatoria}\\
\red\omega & ~ & \red\mathrm{\bf Pulsazione}\\
\red\frac{\omega}{2\pi} & ~ & \red\mathrm{\bf Frequenza~delle~oscillazioni}
\end{eqnarray*}
\end{frame}
%%





%%
\begin{frame}[fragile]
%%
  \frametitle{Sistema del secondo ordine con poli complessi e coniugati}
%%
\scriptsize%%
Poli: $ - \sigma \pm i \omega, \sigma > 0$, $\phi = $ angolo, $\delta = \cos \phi$
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.2]{poli_cc.eps}~~~%
\includegraphics[scale=0.2]{step_response_parameters_2.eps}
\end{center}
\begin{eqnarray*}
y(t) & =& K (1 - \frac{e^{-\sigma t}}{\sqrt{1-\delta^2}} \sin(\omega t +
\phi))\\
1 - \frac{e^{-\sigma t}}{\sqrt{1-\delta^2}} & ~ & \mathrm{Componente~smorzante}\\
\sin(\omega t + \phi) & ~ & \mathrm{Componente~oscillatoria}\\
\red{}T_a \simeq \frac{3}{\sigma} & ~ & \red\mathrm{\bf Tempo~di~assestamento}\\
\red{}S = 100 e^\frac{-\pi\delta}{\sqrt{1-\delta^2}} & ~ & \red\mathrm{\bf Sovraelongazione}
\end{eqnarray*}
\end{frame}
%%







%%
%%

\frame{\titlepage}


\end{document}
%%
%%