%
% RappresentazioneCanonica.tex
%

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\title[Rappresentazione Canonica Sistema]{Rappresentazione di un
  sistema dalla sua funzione di trasferimento}
%%

\author[Corrado Santoro]
       {Corrado Santoro}

\date{ }

\institute[University of Catania]
  {
    \begin{center}
      \textbf{\red{}ARSLAB - Autonomous and Robotic Systems Laboratory}\\
      Dipartimento di Matematica e Informatica - Universit\`{a} di Catania, Italy\\
      \texttt{santoro@dmi.unict.it}\\
      \includegraphics[width=60pt]{robotEscher_Eura_blur.eps}\\%%~~~~\includegraphics[width=80pt]{logo_dmi.png}
      Programmazione Sistemi Robotici\\
    \end{center}
  }



\begin{document}

\frame{\titlepage}


\newcommand\LT[1]{\mathcal{L}\{#1\}}
\newcommand\ILT[1]{\mathcal{L}^{-1}\{#1\}}



%%
\begin{frame}[fragile]
%%
  \frametitle{Dalla G(s) alla rappresentazione di stato}
%%
Sia dato un sistema la cui funzione di trasferimento \`{e}
\begin{eqnarray*}
G(s)  & =  &\frac{N(s)}{D(s)}
\end{eqnarray*}
%%
Come possiamo derivare la sua rappresentazione nello spazio di stato?
%%
\[
\left\{
\begin{array}{rcl}
\dot{x} & = & A x + B u\\
y & = & C x + D u
\end{array}
\right.
\]
%%
\end{frame}
%%



%%
\begin{frame}[fragile]
%%
  \frametitle{Dalla G(s) alla rappresentazione di stato}
%%
Sia:
\begin{eqnarray*}
G(s) & = & \frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{N(s)}{D(s)}
\end{eqnarray*}
%%
Introduciamo una variabile ``di passaggio'' $X(s)$:
%%
\begin{eqnarray*}
G(s) & = & \frac{Y(s)}{X(s)}\frac{X(s)}{U(s)} = \frac{N(s)}{D(s)}\\
\end{eqnarray*}
%%
E separiamo i due rapporti:
%%
\begin{eqnarray*}
\frac{Y(s)}{X(s)} = N(s) & ~ & \frac{X(s)}{U(s)} = \frac{1}{D(s)}
\end{eqnarray*}
%%
\end{frame}
%%





%%
\begin{frame}[fragile]
%%
  \frametitle{Dalla G(s) alla rappresentazione di stato}
%%
Consideriamo:
\begin{eqnarray*}
\frac{X(s)}{U(s)} & = & \frac{1}{D(s)} = \frac{1}{s^n + a_1s^{n-1} +
  a_2s^{n-2} + \dots + a_n}
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
X(s)(s^n + a_1s^{n-1} + a_2s^{n-2} + \dots + a_n) & = & U(s)\\
\red{}X(s)s^n + X(s)a_1s^{n-1} + X(s)a_2s^{n-2} + \dots + X(s)a_n & \red{}= & \red{}U(s)
\end{eqnarray*}
%%
Ricordiamo che se
\[x(t) = \ILT{X(s)}\] allora \[\frac{d^nx(t)}{dt^n} =
\ILT{s^nX(s)}\]
%%
%%
\end{frame}
%%




%%
\begin{frame}[fragile]
%%
  \frametitle{Dalla G(s) alla rappresentazione di stato}
%%
\begin{eqnarray*}
X(s)s^n + X(s)a_1s^{n-1} + X(s)a_2s^{n-2} + \dots + X(s)a_n & = & U(s)
\end{eqnarray*}
%%
Passando al dominio del tempo:
%%
\begin{eqnarray*}
\red{}\stackrel{(n)}{x} + a_1\stackrel{(n-1)}{x} + a_2\stackrel{(n-2)}{x} +
\dots + a_{n-1}\stackrel{.}{x} + a_nx & \red{}= & \red{}u
\end{eqnarray*}
%%
Poniamo:
%%
\begin{eqnarray*}
x_1 & = & x\\
x_2 & = & \dot{x} = \dot{x_1}\\
x_3 & = & \ddot{x} = \dot{x_2}\\
& ...& \\
x_n & = & \stackrel{(n-1)}{x} = \dot{x_{n-1}}
\end{eqnarray*}
%%
\end{frame}
%%






%%
\begin{frame}[fragile]
%%
  \frametitle{Dalla G(s) alla rappresentazione di stato}
%%
\begin{eqnarray*}
\stackrel{(n)}{x} + a_1\stackrel{(n-1)}{x} + a_2\stackrel{(n-2)}{x} +
\dots + a_{n-1}\stackrel{.}{x} + a_nx & = & u
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
x_1 & = & x\\
x_2 & = & \dot{x} = \dot{x_1}\\
x_3 & = & \ddot{x} = \dot{x_2}\\
& ...& \\
x_n & = & \stackrel{(n-1)}{x} = \dot{x_{n-1}}
\end{eqnarray*}
%%
Sostituiamo:
%%
\begin{eqnarray*}
\red{}\dot{x_n} + a_1x_{n} + a_2x_{n-1} +
\dots + a_{n-1}x_2 + a_nx_1 & \red{}= & \red{}u
\end{eqnarray*}
%%
%%
\end{frame}
%%





%%
\begin{frame}[fragile]
%%
  \frametitle{Dalla G(s) alla rappresentazione di stato}
%%
\begin{eqnarray*}
x_1 & = & x\\
x_2 & = & \dot{x} = \dot{x_1}\\
x_3 & = & \ddot{x} = \dot{x_2}\\
& ...& \\
x_n & = & \stackrel{(n-1)}{x} = \dot{x_{n-1}}
\end{eqnarray*}
%%
%%
\begin{eqnarray*}
\dot{x_n} + a_1x_{n} + a_2x_{n-1} +
\dots + a_{n-1}x_2 + a_nx_1 & = & u
\end{eqnarray*}
%%
Mettiamo in ordine:
%%
\[\red{}
\left\{
\begin{array}{rcl}
\dot{x_1} & = & x_2\\
\dot{x_2} & = & x_3\\
& ... & \\
\dot{x_{n-1}} & = & x_n\\
\dot{x_n} & = & - a_nx_1 -  a_{n-1}x_2  - \dots -  a_2x_{n-1} - a_1x_{n} +u
\end{array}
\right.
\]
%%
\end{frame}
%%







%%
\begin{frame}[fragile]
%%
  \frametitle{Dalla G(s) alla rappresentazione di stato}
%%
%%
\[
\left\{
\begin{array}{rcl}
\dot{x_1} & = & x_2\\
\dot{x_2} & = & x_3\\
& ... & \\
\dot{x_{n-1}} & = & x_n\\
\dot{x_n} & = & - a_nx_1 -  a_{n-1}x_2  - \dots -  a_2x_{n-1} - a_1x_{n} +u
\end{array}
\right.
\]
%%
Rappresentiamo in forma matriciale:
\[\red{}
\left[
\begin{array}{c}
\dot{x_1} \\ \dot{x_2} \\ ... \\ \dot{x_{n-1}} \\ \dot{x_n}
\end{array}
\right]
 =
\left[
\begin{array}{ccccc}
0 & 1 & ... & 0 & 0\\
0 & 0 & ... & 0 & 0\\
...\\
0 & 0 & ... & 0 & 1\\
-a_n & -a_{n-1} & ... & -a_2 & -a_1
\end{array}
\right]
%%
\left[
\begin{array}{c}
x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_{n-1} \\ x_n
\end{array}
\right]
+
\left[
\begin{array}{c}
0\\ 0 \\ ... \\ 0 \\ 1
\end{array}
\right]
u
\]
%%
\red{}Abbiamo ottenuto l'equazione $\dot{x} = A x + B u$
%%
\end{frame}
%%




%%
\begin{frame}[fragile]
%%
  \frametitle{Dalla G(s) alla rappresentazione di stato}
%%
Consideriamo:
\begin{eqnarray*}
\frac{Y(s)}{X(s)} & = & N(s) = b_0s^m + b_1s^{m-1} +
  b_2s^{m-2} + \dots + b_m
\end{eqnarray*}
%%
\begin{eqnarray*}
Y(s) & = & X(s)(b_0s^m + b_1s^{m-1} + b_2s^{m-2} + \dots + b_m)\\
\red{}Y(s) & \red{}= &\red{} X(s)b_0s^m + X(s)b_1s^{m-1} + X(s)b_2s^{m-2} + \dots + X(s)b_m
\end{eqnarray*}
%%
Ricordiamo che se
\[x(t) = \ILT{X(s)}\] allora \[\frac{d^nx(t)}{dt^n} =
\ILT{s^nX(s)}\]
%%
%%
\end{frame}
%%



%%
\begin{frame}[fragile]
%%
  \frametitle{Dalla G(s) alla rappresentazione di stato}
%%
\begin{eqnarray*}
Y(s) & = & X(s)b_0s^m + X(s)b_1s^{m-1} + X(s)b_2s^{m-2} + \dots + X(s)b_m
\end{eqnarray*}
%%
Passando al dominio del tempo:
%%
\begin{eqnarray*}
\red{}y &\red{}= &\red{}b_0\stackrel{(m)}{x} + b_1\stackrel{(m-1)}{x} + b_2\stackrel{(m-2)}{x} +
\dots + b_{m-1}\stackrel{.}{x} + b_mx
\end{eqnarray*}
%%
Poich\`{e}:
%%
\begin{eqnarray*}
x_1 & = & x\\
x_2 & = & \dot{x} = \dot{x_1}\\
x_3 & = & \ddot{x} = \dot{x_2}\\
& ...& \\
x_m & = & \stackrel{(m-1)}{x} = \dot{x_{m-1}}
\end{eqnarray*}
%%
otteniamo:
%%
\begin{eqnarray*}
\red{}y &\red{}= & \red{}b_mx_1 + b_{m-1}x_2 + ... + b_2x_{m-1} + b_1x_{m} + b_0x_{m+1}
\end{eqnarray*}
%%
\end{frame}
%%






%%
\begin{frame}[fragile]
%%
  \frametitle{Dalla G(s) alla rappresentazione di stato}
%%
%%
\begin{eqnarray*}
y &= b_mx_1 + b_{m-1}x_2 + ... + b_2x_{m-1} + b_1x_{m} + b_0x_{m+1}
\end{eqnarray*}
%%
Supposto $m < n$ e rappresentando in forma matriciale si ha:
%%
\[\red{}y  =
\left[
\begin{array}{ccccccccc}
b_m & b_{m-1} & ... & b_2 & b_1 & b_0 & 0 & 0 & ...
\end{array}
\right]
%%
\left[
\begin{array}{c}
x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_{n-1} \\ x_n
\end{array}
\right]
%%
\]
%%
\end{frame}
%%



%%
\begin{frame}[fragile]
%%
  \frametitle{Dalla G(s) alla rappresentazione di stato}
%%
Riassumendo, sia  (con $m < n$):
\begin{eqnarray*}
G(s) & = & \frac{N(s)}{D(s)} =
\frac{b_0s^m + b_1s^{m-1} + b_2s^{m-2} + \dots + b_m}
{s^n + a_1s^{n-1} + a_2s^{n-2} + \dots + a_n}
\end{eqnarray*}
%%
Otteniamo:
%%
\[\red{}
\left[
\begin{array}{c}
\dot{x_1} \\ \dot{x_2} \\ ... \\ \dot{x_{n-1}} \\ \dot{x_n}
\end{array}
\right]
 =
\left[
\begin{array}{ccccc}
0 & 1 & ... & 0 & 0\\
0 & 0 & ... & 0 & 0\\
...\\
0 & 0 & ... & 0 & 1\\
-a_n & -a_{n-1} & ... & -a_2 & -a_1
\end{array}
\right]
%%
\left[
\begin{array}{c}
x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_{n-1} \\ x_n
\end{array}
\right]
+
\left[
\begin{array}{c}
0\\ 0 \\ ... \\ 0 \\ 1
\end{array}
\right]
u
\]
%%
%%
\[\red{}y  =
\left[
\begin{array}{ccccccccc}
b_m & b_{m-1} & ... & b_2 & b_1 & b_0 & 0 & 0 & ...
\end{array}
\right]
%%
\left[
\begin{array}{c}
x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_{n-1} \\ x_n
\end{array}
\right]
%%
\]
%%
\end{frame}
%%





%%
\begin{frame}[fragile]
%%
  \frametitle{Dalla G(s) alla rappresentazione di stato}
%%
Riassumendo, sia (con $m < n$):
\begin{eqnarray*}
G(s) & = & \frac{N(s)}{D(s)} =
\frac{b_0s^m + b_1s^{m-1} + b_2s^{m-2} + \dots + b_m}
{s^n + a_1s^{n-1} + a_2s^{n-2} + \dots + a_n}
\end{eqnarray*}
%%
Otteniamo:
%%
\[\red{}
A =
\left[
\begin{array}{ccccc}
0 & 1 & ... & 0 & 0\\
0 & 0 & ... & 0 & 0\\
...\\
0 & 0 & ... & 0 & 1\\
-a_n & -a_{n-1} & ... & -a_2 & -a_1
\end{array}
\right]
%%
~~~
B = \left[
\begin{array}{c}
0\\ 0 \\ ... \\ 0 \\ 1
\end{array}
\right]
\]
%%
%%
\[\red{}C  =
\left[
\begin{array}{ccccccccc}
b_m & b_{m-1} & ... & b_2 & b_1 & b_0 & 0 & 0 & ...
\end{array}
\right]
%%
\]
%%
\end{frame}
%%









\frame{\titlepage}


\end{document}
%%
%%