%
% ElementiTDS.tex
%

\documentclass{beamer}

\usepackage{beamerthemeshadow}
\usepackage{listings}
\usepackage{graphics}
\usepackage{times}
\usepackage{algorithm2e}

\usepackage{pgf,pgfarrows,pgfnodes,pgfautomata,pgfheaps,pgfshade}
% \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage[latin1]{inputenc}
% \usepackage{colortbl}
\usepackage[english]{babel}

\newcommand{\erlang}{
\lstset{language=Prolog, basicstyle=\ttfamily\footnotesize,frame=trBL,
  frameround=fttt}}

\newcommand{\erlangsmall}{
\lstset{language=Prolog, basicstyle=\ttfamily\scriptsize,frame=trBL,
  frameround=fttt}}

\newcommand{\clang}{
\lstset{language=Prolog, basicstyle=\ttfamily\footnotesize,frame=trBL,
  frameround=fttt}}

\newcommand{\clangsmall}{
\lstset{language=Prolog, basicstyle=\ttfamily\scriptsize,frame=trBL,
  frameround=fttt}}

\newcommand{\clangtiny}{
\lstset{language=Prolog, basicstyle=\ttfamily\tiny,frame=trBL,
  frameround=fttt}}

\erlang

\newcommand\blue{\color[rgb]{0,0,1}}
\newcommand\green{\color[rgb]{0,0.5,0}}
\newcommand\red{\color[rgb]{1,0,0}}
\newcommand\black{\color[rgb]{0,0,0}}

\newcommand\tape[9]{
\framebox{#1}
\framebox{#2}
\framebox{#3}
\framebox{#4}
\framebox{#5}
\framebox{#6}
\framebox{#7}
\framebox{#8}
\framebox{#9}}

\newcommand\two[2]{
\framebox{#1}
\framebox{#2}}

\newcommand\six[6]{
\framebox{#1}
\framebox{#2}
\framebox{#3}
\framebox{#4}
\framebox{#5}
\framebox{#6}}

\newcommand\three[3]{
\framebox{#1}
\framebox{#2}
\framebox{#3}}

\title[Elementi di Teoria dei Sistemi]{Elementi di Teoria dei Sistemi}
%%

\author[Corrado Santoro]
       {Corrado Santoro}

\date{ }

\institute[University of Catania]
  {
    \begin{center}
      \textbf{\red{}ARSLAB - Autonomous and Robotic Systems Laboratory}\\
      Dipartimento di Matematica e Informatica - Universit\`{a} di Catania, Italy\\
      \texttt{santoro@dmi.unict.it}\\
      \includegraphics[width=60pt]{robotEscher_Eura_blur.eps}\\%%~~~~\includegraphics[width=80pt]{logo_dmi.png}
      Programmazione Sistemi Robotici\\
    \end{center}
  }



\begin{document}

\frame{\titlepage}


%%
\begin{frame}[fragile]
%%
  \frametitle{Definizione di \textbf{Sistema}}
%%
\begin{block}{~~}
\red%%
Un \textbf{sistema} \`{e} un oggetto con un numero finito di gradi
di libert\`{a} che evolve nel tempo secondo una legge deterministica
\end{block}
%%
Un sistema \`{e} rappresentabile come una \textbf{black box} che pu\`{o}
essere \emph{stimolata} da una sollecitazione (ingresso) $u(t)$ e che
produce un \emph{effetto} (output) $y(t)$
%%
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.25]{sistema.eps}\\
\Large$y(t) = f(u(t))$
\end{center}
%%
Il comportamento \`{e} \textbf{totalmente} descritto dalla funzione
$f(\cdot)$.
%%

%%
\end{frame}
%%




%%
\begin{frame}[fragile]
%%
  \frametitle{Definizione di \textbf{Sistema Statico}}
%%
\begin{block}{~~}
{\red%%
Un \textbf{sistema statico} \`{e} un sistema in cui, dato un istante di
tempo $T$, il valore dell'uscita $y(T)$ dipende \textbf{solo ed
  esclusivamente} dal valore dell'ingresso allo stesso istante $u(T)$.}
\end{block}
%%
%%
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.25]{sistema_statico.eps}\\
\Large\[i(t) = \frac{v(t)}{R}\]
\end{center}
%%
%%
\end{frame}
%%




%%
\begin{frame}[fragile]
%%
  \frametitle{Definizione di \textbf{Sistema Dinamico}}
%%
\begin{block}{~~}
\small{\red%%
Un \textbf{sistema dinamico} \`{e} un sistema in cui, dato un istante di
tempo $T$, il valore dell'uscita $y(T)$ dipende \textbf{dal valore
  istantaneo} e da \textbf{tutti i valori passati}, $u(t)$ con $t \in [0,
  T]$.}\\
~\\
Un sistema dinamico (\textbf{tempo-continuo}) \`{e} descritto da
un'\textbf{equazione differenziale} (nel tempo).
%%
\end{block}
%%
%%
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.15]{sistema_dinamico.eps}\\
\begin{eqnarray*}
v(t) = Ri(t) + v_c(t) ~~~~~~~~~ i(t) = C\frac{d v_c(t)}{dt}\\
v(t) = RC\frac{d v_c(t)}{dt} + v_c(t)\\
\end{eqnarray*}
\end{center}
%%
%%
\end{frame}
%%



%%
\begin{frame}[fragile]
%%
  \frametitle{Esempio di \textbf{Sistema Dinamico}}
%%
Sia data una massa su un piano alla quale e' applicata una forza $f(t)$;
sia $b$ il coefficiente di attrito, determinare la legge del moto.\\~\\
$a(t)=$ accelerazione, ~~~~~$v(t) = $ velocit\`{a}
%%
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.25]{massa_attrito.eps}
\end{center}
%%
\begin{eqnarray*}
f(t) = M a(t) + b v(t)\\
f(t) = M \frac{dv(t)}{dt} + b v(t)
\end{eqnarray*}
%%
%%
\end{frame}
%%



%%
\begin{frame}[fragile]
%%
  \frametitle{Esempio di \textbf{Sistema Dinamico}: Soluzione}
%%
Sia $f(t) = const = F$ e $v(0) = 0$ (velocit\`{a} iniziale nulla)
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.25]{massa_attrito.eps}
\end{center}
%%
\begin{eqnarray*}
F = M a(t) + b v(t)\\
F = M \frac{dv(t)}{dt} + b v(t)\\
v(t) = \frac{F}{b}(1 - e^{-\frac{b}{M}t})
\end{eqnarray*}
%%
%%
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.2]{massa_attrito_trend.eps}
\end{center}
%%
\end{frame}
%%


%%
\begin{frame}[fragile]
%%
  \frametitle{Perch\`{e} studiare i sistemi dinamici?}
%%
Sia dato un \textbf{robot} su ruote, di massa $M$, equipaggiato con motori
elettrici per la trazione.\\
~\\
All'istante $T=0$ applichiamo una corrente ai motori provocando la comparsa
di una \textbf{forza di trazione} $f(t)$.\\
~\\
Come si comporta il robot?\\
Quale sar\`{a} l'andamento della velocit\`{a} nel tempo?\\
Quale sar\`{a} la sua velocit\`{a} ``a regime''?\\
%%
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.25]{robot_attrito.eps}
\end{center}
%%
%%
%%
\end{frame}
%%


%%
\begin{frame}[fragile]
%%
  \frametitle{Sistema Massa-Molla (oscillatore smorzato)}
%%
Sia data una massa su un piano alla quale \`{e} collegata una molla con
costante elastica $k$;
sia $b$ il coefficiente di attrito, determinare la legge del moto.\\~\\
$a(t)=$ accelerazione, ~~~~~$v(t) = $ velocit\`{a} ~~~~~$x(t) = $ posizione
%%
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.25]{massa_molla.eps}
\end{center}
%%
\begin{eqnarray*}
M a(t) = - b v(t) - k x(t)\\
M \frac{d^2x(t)}{dt^2} + b  \frac{dx(t)}{dt} + k x(t) = 0
\end{eqnarray*}
%%
%%
\end{frame}
%%



%%
\begin{frame}[fragile]
%%
  \frametitle{Sistema Massa-Molla (oscillatore smorzato)}
\begin{eqnarray*}
M \frac{d^2x(t)}{dt^2} + & b  \frac{dx(t)}{dt} & + k x(t)  = 0\\
~\\
\ddot{x} = \frac{d^2x(t)}{dt^2} & ~~~ & \dot{x} = \frac{dx(t)}{dt}\\
~\\
M \ddot{x} + & b  \dot{x} & + k x  = 0\\
~\\
\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{M}} & ~~~ & \gamma = \frac{b}{2M}\\
~\\
\red\ddot{x} + & \red2\gamma\dot{x} & \red+ \omega_0^2 x = 0
\end{eqnarray*}
%%
%%
\end{frame}
%%




%%
\begin{frame}[fragile]
%%
  \frametitle{Sistema Massa-Molla (oscillatore smorzato)}
\begin{eqnarray*}
\red\ddot{x} + 2\gamma\dot{x} \red+ \omega_0^2 x = 0\\
\omega_0 = pulsazione~~propria\\
\gamma = fattore~~di~~smorzamento\\
\end{eqnarray*}
%%
\begin{eqnarray}
\gamma > \omega_0 & x(t) = A e^{-\alpha_1t} + B e^{-\alpha_2t} & \alpha_1, \alpha_2 > 0\\
\gamma = \omega_0 & x(t) = A e^{-\omega_0t} + B t e^{-\omega_0t} & ~\\
\gamma < \omega_0 & x(t) = C e^{-\gamma t} \cos{(\sqrt{\omega_0^2-\gamma^2} + \phi)} & ~
\end{eqnarray}
%%
\red{}Nel caso (3) si hanno oscillazioni alla frequenza
$f =\frac{\omega_0}{2\pi}$, smorzate sulla base del fattore $\gamma$.
%%
\end{frame}
%%


%%
\begin{frame}[fragile]
%%
  \frametitle{Rappresentazione dei sistemi dinamici}
%%
\begin{block}{~~}
\red\Large%%
Modello Canonico dei Sistemi Dinamici
\end{block}
%%
\end{frame}
%%


%%
\begin{frame}[fragile]
%%
  \frametitle{Concetto di Stato}
%%
\begin{block}{Variabili di Stato}
In un sistema dinamico, si definiscono \textbf{variabili di stato}, tutte
le variabili $x_1(t), x_2(t), \ldots, x_n(t)$ che rappresentano l'evoluzione
del comportamento del sistema stesso
\end{block}
%%
~\\
%%
\begin{block}{Variabili di Stato}
In un sistema dinamico, si definisce \textbf{stato} al tempo $T$, il valore
delle variabili di stato al tempo $T$: $x_1(T), x_2(T), \ldots, x_n(T)$.
\end{block}
%%
~\\
%%
\begin{block}{Traiettoria}
In un sistema dinamico, si definisce \textbf{traiettoria}, l'andamento nel
tempo delle delle variabili di stato.
\end{block}
%%
\end{frame}
%%



%%
\begin{frame}[fragile]
%%
  \frametitle{Modello di Sistema Dinamico}
%%
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.25]{sistema_dinamico_2.eps}
\end{center}
%%
Un sistema dinamico \`{e} rappresentato dal seguente sistema di equazioni:
\[
\left\{
\begin{array}{rcl}
\dot{x}(t) & = & f(x(t), u(t))\\
y(t) & = & g(x(t), u(t))
\end{array}
\right.
\]
dove:
\begin{itemize}
\item$u(t)$ \`{e} l'\textbf{ingresso}
\item$x(t)$ \`{e} lo \textbf{stato}
\item$y(t)$ \`{e} l'\textbf{uscita}
\item$f(x(t), u(t))$  \`{e} la \textbf{funzione di stato}
\item$g(x(t), u(t))$  \`{e} la \textbf{funzione di uscita}
\end{itemize}
%%
\end{frame}
%%


%%
\begin{frame}[fragile]
%%
  \frametitle{Massa su piano con attrito}
%%
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.2]{massa_attrito.eps}
\end{center}
%%
\begin{eqnarray*}
f(t)& =& M a(t) + b v(t)\\
f(t)& =& M \frac{dv(t)}{dt} + b v(t)\\
f& =& M \dot{v} + b v
\end{eqnarray*}
%%
\begin{itemize}
\item\textbf{ingresso} $= f$
\item\textbf{stato} $= v$
\item\textbf{uscita} $= v$
\end{itemize}
%%
\[
\left\{
\begin{array}{rcl}
\dot{v} & = & -\frac{b}{M} v + \frac{1}{M}f\\
y & = v
\end{array}
\right.
\]
%%
\end{frame}
%%


%%
\begin{frame}[fragile]
%%
  \frametitle{Massa su piano con attrito}
%%
Aggiungiamo anche la posizione
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.2]{massa_attrito_2.eps}
\end{center}
%%
\begin{eqnarray*}
f(t)& =& M a(t) + b v(t)\\
f(t)& =& M \frac{dv(t)}{dt} + b v(t)\\
f &= &M \dot{v} + b v\\
\dot{p}& =& v
\end{eqnarray*}
%%
%%
\[
\left\{
\begin{array}{rcl}
\dot{v} & = & -\frac{b}{M} v + \frac{1}{M}f\\
\dot{p} & = v\\
y & = p
\end{array}
\right.
\]
%%
\end{frame}
%%




%%
\begin{frame}[fragile]
%%
  \frametitle{Massa su piano con attrito}
%%
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.2]{massa_attrito_2.eps}
\end{center}
%%
%%
\[
\left\{
\begin{array}{rcl}
\red\dot{v} & \red= & \red-\frac{b}{M} v + \frac{1}{M}f\\
\red\dot{p} & \red= & \red{}v\\
y & = p
\end{array}
\right.
\]
%%
\begin{itemize}
\item\small{}Le relazioni in rosso rappresentano \textbf{entrambe} l'evoluzione dello stato.
\item Lo stato \`{e} pertanto rappresentato dal \textbf{vettore} $[v ~~~ p]$.
\item Generalizzando ....
\end{itemize}
\end{frame}
%%


%%
\begin{frame}[fragile]
%%
  \frametitle{Modello di Sistema Dinamico}
%%
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.25]{sistema_dinamico_2.eps}
\end{center}
%%
Un sistema dinamico \`{e} rappresentato dal seguente sistema di equazioni:
\[
\left\{
\begin{array}{rcl}
\dot{x}(t) & = & f(x(t), u(t))\\
y(t) & = & g(x(t), u(t))
\end{array}
\right.
\]
dove:
\begin{itemize}
\item$u(t)$ \`{e} il \textbf{vettore degli ingressi}
\item$x(t)$ \`{e} il \textbf{vettore di stato}
\item$y(t)$ \`{e} il \textbf{vettore di uscita}
\item$f(x(t), u(t))$  \`{e} la \textbf{funzione (matriciale) di stato}
\item$g(x(t), u(t))$  \`{e} la \textbf{funzione (matriciale) di uscita}
\end{itemize}
%%
\end{frame}
%%



%%
\begin{frame}[fragile]
%%
  \frametitle{Massa su piano con attrito}
%%
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.2]{massa_attrito_2.eps}
\end{center}
%%
%%
\[
\left\{
\begin{array}{rcl}
\red\dot{v} & \red= & \red-\frac{b}{M} v + \frac{1}{M}f\\
\red\dot{p} & \red= & \red{}v\\
y & = p
\end{array}
\right.
\]
%%
diventa:
%%
%%
\[
\left\{
\begin{array}{rcl}
\red
\begin{bmatrix}
\dot{v} \\ \dot{p}
\end{bmatrix}
& = &
\begin{bmatrix}
-\frac{b}{M} & 0\\
1 & 0
\end{bmatrix}
{\red%%
\begin{bmatrix}
v \\ p
\end{bmatrix}}
+
\begin{bmatrix}
\frac{1}{M} \\ 0
\end{bmatrix}
{\blue%%
\begin{bmatrix}
f
\end{bmatrix}}
\\
{\green%%
\begin{bmatrix}
y
\end{bmatrix}}
& = &
\begin{bmatrix}
0 & 1
\end{bmatrix}
{\red%%
\begin{bmatrix}
v \\ p
\end{bmatrix}}
\end{array}
\right.
\]
%%
\end{frame}
%%



%%
\begin{frame}[fragile]
%%
  \frametitle{Sistemi lineari e non lineari}
%%
\[
\left\{
\begin{array}{rcl}
\dot{x}(t) & = & f(x(t), u(t))\\
y(t) & = & g(y(t), u(t))
\end{array}
\right.
\]
%%
\begin{block}{Sistema Non Lineare}
Si definisce \textbf{non lineare} un sistema dove $f(\cdot, \cdot)$ e
$g(\cdot, \cdot)$ sono funzioni \textbf{non lineari}
\end{block}
%%
~\\
%%
\begin{block}{Sistema Lineare}
Si definisce \textbf{lineare} un sistema dove $f(\cdot, \cdot)$ e
$g(\cdot, \cdot)$ sono funzioni \textbf{lineari}
\end{block}
%%
%%
\end{frame}
%%




%%
\begin{frame}[fragile]
%%
  \frametitle{Sistemi lineari}
%%
\begin{block}{~~}
Un \textbf{sistema lineare (tempo-)continuo} pu\`{o} essere rappresentato dal
seguente sistema di equazioni lineari matriciali:
%%
\[
\left\{
\begin{array}{rcl}
\dot{x} & = & A x + B u\\
y & = & C x + D u
\end{array}
\right.
\]
%%
\end{block}
%%
\begin{itemize}
\item\small$x$, vettore di stato di $n$ elementi
\item\small$u$, vettore d'ingresso di $m$ elementi
\item\small$y$, vettore d'uscita di $p$ elementi
\item$A$, matrice di stato di dimensioni $n \times n$
\item$B$, matrice d'ingresso di dimensioni $n \times m$
\item$C, D$, matrici d'uscita di dimensioni risp. $p \times n$ e $p \times m$
\item\red{}Se $D = 0$ il sistema si dice \textbf{proprio}
\item\red{}Se $D \neq 0$ il sistema si dice \textbf{improprio}
\end{itemize}
%%
\end{frame}
%%






%%
\begin{frame}[fragile]
%%
  \frametitle{Massa su piano con attrito}
%%
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.2]{massa_attrito_2.eps}
\end{center}
%%
%%
\[
\left\{
\begin{array}{rcl}
\red
\begin{bmatrix}
\dot{v} \\ \dot{p}
\end{bmatrix}
& = &
\begin{bmatrix}
-\frac{b}{M} & 0\\
1 & 0
\end{bmatrix}
{\red%%
\begin{bmatrix}
v \\ p
\end{bmatrix}}
+
\begin{bmatrix}
\frac{1}{M} \\ 0
\end{bmatrix}
{\blue%%
\begin{bmatrix}
f
\end{bmatrix}}
\\
{\green%%
\begin{bmatrix}
y
\end{bmatrix}}
& = &
\begin{bmatrix}
0 & 1
\end{bmatrix}
{\red%%
\begin{bmatrix}
v \\ p
\end{bmatrix}}
\end{array}
\right.
\]
%%

%%
\begin{eqnarray*}
A = \begin{bmatrix}
-\frac{b}{M} & 0\\
1 & 0
\end{bmatrix}
&
B = \begin{bmatrix}
\frac{1}{M} \\ 0
\end{bmatrix}
\\
C = \begin{bmatrix}
0 & 1
\end{bmatrix}
&
D = \begin{bmatrix}
0
\end{bmatrix}
\end{eqnarray*}

\end{frame}
%%



%%
\begin{frame}[fragile]
%%
  \frametitle{Sistema Massa-Molla (con forzante)}
%%
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.25]{massa_molla_forzata.eps}
\end{center}
%%
\begin{eqnarray*}
& & M a(t) = - b v(t) - k x(t) + F(t)\\
& & M \ddot{x} = -b \dot{x} - k x + F(t)
\end{eqnarray*}
%%
Poniamo $x_1 = x$, $x_2 = \dot{x}$ e consideriamo il vettore di stato
$\left[ x_1 ~~  x_2 \right]$:
%%
\begin{eqnarray*}
& & M \dot{x_2} = -b x_2 - k x_1 + F(t)\\
& & \dot{x_2} = -\frac{b}{M} x_2 - \frac{k}{M} x_1 +\frac{1}{M} F(t)\\
& & \dot{x_1} = x_2
\end{eqnarray*}
%%
\end{frame}
%%


%%
\begin{frame}[fragile]
%%
  \frametitle{Massa-molla}
%%
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.2]{massa_molla_forzata.eps}
\end{center}
%%
%%
\[
\left\{
\begin{array}{rcl}
\red
\begin{bmatrix}
\dot{x_1} \\ \dot{x_2}
\end{bmatrix}
& = &
\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
-\frac{k}{M} & -\frac{b}{M}
\end{bmatrix}
{\red%%
\begin{bmatrix}
x_1 \\ x_2
\end{bmatrix}}
+
\begin{bmatrix}
0 \\ \frac{1}{M}
\end{bmatrix}
{\blue%%
\begin{bmatrix}
F
\end{bmatrix}}
\\
{\green%%
\begin{bmatrix}
y
\end{bmatrix}}
& = &
\begin{bmatrix}
1 & 0
\end{bmatrix}
{\red%%
\begin{bmatrix}
x_1 \\ x_2
\end{bmatrix}}
\end{array}
\right.
\]
%%

%%
\begin{eqnarray*}
A = \begin{bmatrix}
0 & 1 \\
-\frac{k}{M} & -\frac{b}{M}
\end{bmatrix}
&
B = \begin{bmatrix}
0 \\ \frac{1}{M}
\end{bmatrix}
\\
C = \begin{bmatrix}
1 & 0
\end{bmatrix}
&
D = \begin{bmatrix}
0
\end{bmatrix}
\end{eqnarray*}

\end{frame}
%%







%%
%%

\frame{\titlepage}


\end{document}
%%
%%