Metodi d'approssimazione - modulo 1

Modelli matematici retti da sistemi di equazioni differenziali ordinarie. Modelli lineari: oscillatore armonico e catena di oscillatori lineari, oscillatori forzati e smorzati. Risonanza e problema agli autovalori. Analogia con i circuiti elettrici lineari. Modelli non-lineari: oscillatori non-lineari (pendolo, oscillatore di van der Pol), problema degli n corpi, modello preda-predatore di Lottka-Volterra, modello di Lorenz del moto convettivo.
Analisi dimensionale. Riduzione delle equazioni nella forma adimensionale. Individuazione dei parametri adimensionali del modello. Conseguenze della analisi dimensionale.
Comportamento delle soluzioni. Studio qualitativo del comportamento delle soluzioni nel piano delle fasi. Punti di equilibrio. Stabilità delle soluzioni. Stabilità lineare e metodo della funzione di Lyapounov. Cicli limite ed attrattori. Biforcazione. Mappa logistica e comportamento caotico. Comportamento caotico nei sistemi continui: il modello di Lorenz. Metodi per la risoluzione di sistemi di equazioni differenziali ordinarie (richiami e cenni).  Scelta del metodo numerico per la risoluzione delle equazioni.Un esempio di sistema stiff: l'oscillatore di van der Pol.
Alcuni strumenti computazionali. Utilizzo del calcolatore. Richiami sul sistema unix. Introduzione all'utilizzo del Maple e di scilab. Funzioni principali di scilab (gestione delle matrici, grafica, integrazione di sistemi di equazioni differenziali ordinarie). Scilab come linguaggio di programmazione. Interfacciamento con fortran e C.  Programmazione in fortran. Visualizzazione grafica con gnuplot. Librerie per il calcolo numerico: Numerical Recipes e Netlib.
Modelli matematici  retti da equazioni alle derivate parziali. Fenomeni stazionari. Equazione di Poisson e di Laplace in  elettrostatica.Fenomeni di diffusione. Diffusione del calore, e legge di Fourier. Diffusione di massa (legge di Fick). Relazione con la passeggiata aleatoria. Fenomeni di propagazione. Equazione della corda vibrante. Equazione delle onde per il campo elettromagnetico. Richiami di teoria. Generalità sulle equazioni alle derivate parziali. Nozione di problema ben posto. Classificazione delle equazioni. Problema di Dirichlet e di Neumann per equazioni ellittiche. Problema ai valori iniziali ed al contorno  per equazioni di tipo parabolico. Problema ai valori iniziali per equazioni di tipo iperbolico. La singola equazione scalare. Equazione non lineare. Forma caratteristica e soluzioni deboli.
Gasdinamica. Equazioni di bilancio di massa, quantità di moto ed energia. Il problema della chiusura. Relazioni di Navier-Stokes-Fourier. Equazioni di Eulero in una dimensione: onde semplici, onde d'urto e discontinuità di contatto.
 

Metodi d'approssimazione - modulo 2

Equazione del calore. Metodo di Eulero in avanti. Analisi della stabilità: metodo di von Neuman. Metodi impliciti: schema di Eulero all'indietro e di Crank-Nicholson. Sistemi tridiagonali.Equazioni del calore con coefficienti variabili. Consistenza, convergenza e stabilità dei metodi alle differenze finite per problemi ai valori iniziali. Teorema di equivalenza di Lax (enunciato). Equazione del calore in più dimensioni. Metodi a passi frazionari.
Sistemi iperbolici. Metodi alle differenze finite. Consistenza e stabilità. Condizione di Courant-Friedrichs-Lewy e dominio di dipendenza dai dati.  etodo di Lax-Friedrichs. Metodi upwind. Metodi del primo ordine e del secondo ordine. Equazione modificata, dissipazione e dispersione.

Argomento avanzato: verrà scelto fra i due seguenti:
Fluidodinamica computazionale.
Leggi di conservazione. Schemi conservativi. Condizioni di entropia. Schemi upwind per sistemi lineari. Il problema di Riemann e gli schemi di Godunov. Schemi di alto ordine. Schemi di Godunov generalizzati, schemi di rilassamento e schemi centrali. Applicazioni alla gasdinamica. Soluzione delle equazioni della gasdinamica, e loro visualizzazione grafica.  Fluidodinamica incomprimibile. Formulazione nelle variabili primitive. Metodo di proiezione. Formulazione in varibili vorticity-stream function. Metodo dei vortici.
Metodi numerici per equazioni cinetiche.
L'equazione di Boltzmann della gasdinamica rarefatta. Rilassamento all'equilibrio: entropia, e teorema H. Metodi numerici per il trattamento della equazione di Boltzmann omogenea. Metodo Monte Carlo. Recenti sviluppi. Metodi spettrali (cenni).