UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI CATANIA

Facoltà di Ingegneria

Corso di Laurea in Ing. Telematica

a.a. 2002-2003

Corso:	Matematica Applicata
Docente:	Prof. Vittorio Romano
e.mail/telefono	romano@dmi.unict.it, 0935- 532058 (sede di Enna), 095-7383032 (sede di Catania)
Anno:	2°
Periodo:	1°
Crediti:	6
Crediti per attivita’:	lezioni:	4
	esercitazioni:	2
	laboratorio
Obiettivi:	Fornire elementi di analisi complessa e gli strumenti di calcolo inerenti alle trasformate di Laplace, serie e trasformate di Fourier.
Presentazione del corso:	Le trasformate di Laplace costituiscono uno strumento di risoluzione per equazioni differenziali che trova molteplici applicazioni in svariati problemi di circuitistica, propagazione di segnali, meccanica dei continui . Parimenti l’uso delle serie e trasformate di Fourier consente l’analisi di segnali, fenomeni ondulatori, linee di trasmissione.
Programma	Elementi di variabile complessa Generalità sui numeri complessi, forma polare, teorema di De Moivre, radici dei numeri complessi, formula di Eulero, radici ennesime dell’unità. Funzioni complesse di variabile complessa: funzioni elementari nel campo complesso, punti e rette di diramazione, limiti, continuità. Funzioni olomorfe ed equazioni di Cauchy-Riemann, regole di derivazione, teorema di de l’Hospital. Integrali di linea, regioni semplicemente e molteplicemente connesse, teoremi di Cauchy-Goursat e Morera, integrali indefiniti; formule integrali di Cauchy e conseguenze. Serie di Taylor e di Laurent, classificazione delle singolarità. Calcolo dei residui, teorema dei residui e applicazioni al calcolo di integrali. Trasformata di Laplace Definizione e ascissa di convergenza. Trasformate di alcune funzioni elementari. Condizioni sufficienti per l’esistenza della trasformata. Proprietà della linearità, formule del ritardo e cambio scala, trasformate delle derivate e delle primitive, derivata di una trasformata, integrale di una trasformata, trasformata delle funzioni periodiche, dei prodotti per potenze e delle divisioni per la variabile indipendente, trasformata di un prodotto di convoluzione, teoremi del valore finale ed iniziale. Funzione gamma. Trasformata della delta di Dirac. Antitrasformate. Formula di inversione complessa e proprietà; metodi per la determinazione delle antitrasformate. Formula dello sviluppo di Heaviside. Risoluzione di equazioni differenziali, integrali e integro-differenziali con l’ausilio delle trasformate di Laplace. Funzione di trasferimento. Applicazioni ai circuiti elettrici. Serie di Fourier Spazio dei polinomi trigonometrici. Determinazione dei coefficienti di Fourier. Forma rettangolare e complessa delle serie di Fourier. Convergenza in media quadratica, Teorema di Riemann e uguaglianza di Parseval. Convergenza puntuale. Teorema di integrazione e derivazione per serie. Spettro di fase e di ampiezza. Armonica fondamentale e armoniche superiori per un segnale acustico. Sviluppi in soli seni soli coseni. Serie di Fourier per un treno di impulsi. Trasformate di Fourier Definizione ed esempi. Spettro di fase e di ampiezza. Formula di inversione. Proprietà delle trasformate di Fourier: linearità, formule del ritardo, modulazione, trasformata di una derivata, derivata di una trasformata, trasformata di un prodotto di convoluzione. Uguaglianza di Parseval. Legame tra la trasformata di Fourier e quella di Laplace. Trasformata Zeta Definizione. Proprietà della linearità, traslazione, cambio scala, inversione nel tempo, derivazione, convoluzione. Antitrasformazione: teorema del valore iniziale, formula di inversione basata sul teorema dei residui. Utilizzo della trasformata zeta per risolvere equazioni alle differenze. Cenni sulla teoria delle distribuzioni Spazio delle funzioni test e definizione di distribuzione. Distribuzioni generate da funzioni localmente sommabili. Distribuzioni singolari. La delta di Dirac e v.p. di 1/x. Operazioni con le distribuzioni. Derivata di una distribuzione. Lo spazio S di Schwartz e distribuzioni temperate. Distribuzioni temperate generate da funzioni a crescita lenta. Trasformata di Fourier di una distribuzione temperata. Serie di Fourier di distribuzioni periodiche: formula di sommazione di Poisson; serie di Fourier del “pettine di delta”. Trasformata di Laplace nell’ambito delle distribuzioni.
Modalita’ d’ esame	L’esame consta di una prova scritta e di una prova orale. Durante il corso si terranno delle prove in itinere. Gli studenti che superano le prove in itinere sono esonerati dalla prova scritta.
Materiale didattico	G. C. Barozzi Matematica per l’ingegneria dell’informazione, Zanichelli, Bologna M. R. Spiegel Variabili complesse, collana SCHAUM, McGraw-Hill, Milano M. R. Spiegel Trasformate di Laplace, collana SCHAUM, McGraw-Hill, Milano
Orario di ricevimento:	martedì dalle ore 10:00 alle ore 13:00 venerdì dalle ore 10:00 alle ore 13:00