La bottiglia di Klein

La bottiglia di Klein è un esempio di varietà bidiensionale non orientabile, ottenuta topologicamente come spazio quoziente di un rettangolo, identificando due lati opposti concordemente orientati e gli altri due lati discordemente orientati. Tali identificazioni non sono possibili in tre dimensioni senza autointersezioni: occorrono quattro dimensioni per poter contenere una superficie bidimensionale con la topologia definita sopra, priva di autointersezioni.

Nell'applet dell'home page ed in quelle visualizzabili da questa pagina, viene raffigurata la proiezione in tre dimensioni di una superficie che è topologicamente una bottiglia di Klein. Precisamente, denotate con (x,y,z,v) le coordinate dello spazio quadridimensionale in cui è immersa, di essa viene visualizzata la proiezione nel sotto-spazio (x,y,z) e tale proiezione ruota uniformemente in (x,y,z). La pressione dei tasti 'x','c' o 'z'(dopo aver cliccato con il mouse sulla figura), esegue le tre rotazioni elementari coinvolgenti rispetivamente uno dei tre assi x, y, z ed il quarto asse v. Premendo i tasti '+' e '-'viene cambiato il verso della rotazione. Con tali rotazioni quadridimensionali, la proiezione tridimensinale assume una forma diversa.

Le applets visualizzabili in questa pagina sono le seguenti:

1. La prima è, uguale a quella della home page. La superficie ha facce opposte di colore diverso: beige e grigio-azzurro. In realtà, è improprio parlare di facce opposte, almeno in senso globale. Infatti, anche se, per un osservatore P fermo, ha senso la distinzione tra faccia esterna e faccia interna, se P si muove in senso longitudinale e torna al punto di partenza compiendo un giro completo, si ritrova sulla faccia opposta a quella da cui era partito(oltre che con la destra scambiata con la sinistra). Per cui si può dire che, come il nastro di Moebius, la bottiglia di Klein ha un'unica faccia. Nell'applet si vede che, assumendo in un dato punto come esterna la faccia beige, dopo un giro completo si arriva al punto di partenza con la faccia esterna grigio-azzurra. Nella proiezione tridimensionale, le due facce si incrociano scambiando il loro ruolo di esterno-interno nella parte che presenta una concavità, e ciò si visualizza meglio nell'ultima applet. Bisogna ricordare, comunque, che in quattro dimensioni non c'è nessun incrocio di facce, tale incrocio avviene solo nella proiezione tridimensionale e varia sia in forma che in posizione, secondo come la superficie è ruotata rispetto al piano in cui viene proiettata. Così, eseguendo una rotazione quadridimensionale con i tasti citati sopra, si varia il modo in cui la faccia interna si torce per diventare esterna.
2. Nella seconda , i colori non si riferiscono alle facce come nella prima , ma la superficie è divisa in due semistrisce opposte e complementari di colore diverso.
3. La terza è uguale alla seconda , con la differenza che in questo caso la superficie è trasparente per poterne visualizzare la parte interna e le autointersezioni.
4. La quarta è uguale alla prima , con la differenza che ne è stata rimossa una striscia per poterne visualizzare l'interno.
5. La quinta è uguale alla quarta , con la differenza che ne sono state rimosse de strisce.