Metodi Matematici della Fisica (Advanced Mathematical Methods for Physics) 2018-2019
Corso di laurea magistrale in Fisica
AGGIORNAMENTI
1/3: Orario lezioni.
7/3: Cambio orario delle lezioni (valido dall'11 marzo).
Orario lezioni 2018-2019:
Lunedì ore 15-17, Aula A del DFA
Mercoledì ore 15-17, Aula A del DFA
Venerdì ore 9-11, Aula E del DFA
Argomenti lezioni e materiale didattico
Programma previsto: (vedi Syllabus)
4/3 (2h):
Nozioni di algebra: proprietà delle operazioni, gruppi, campi etc. Spazi vettoriali: C^n R^n su campo C o R, matrici quadrate, polinomi,
spazi di funzioni. Sottospazi, varietà lineari, dipendenza lineare, dimensione finita e infinita. Unicità della rappresentazione in base finita (dim.).
Base, base canonica in C^n. Isomorfismo tra spazi vettoriali.
6/3:
Somma diretta di sottospazi. Topologia: gli aperti, intorno, convergenza. Spazio metrico, distanza, aperti come unione di intorni metrici.
Spazi vettoriali normati, norma e metrica indotta. Norme p, norma infinito. Successioni convergenti in norma p, spazi l_p.
Disuguaglianza di Minkowski e norma l_p. Punti interni, isolati, esterni, di accumulazione, di frontiera di insiemi.
Derivato, chiusura. Convergenza in norma, successioni di Cauchy. Spazio normato completo, Banach.
Completezza di C^n, non completezza di C[0,1] in norma 1.
13/3:
Contrazioni. Teorema di punto fisso (dim.). Cenni sui frattali [da appunti corso sistemi dinamici]: insieme di Cantor,
distanza di Hausdorff, mappe contrattive in R^n, loro unione, insieme di Cantor come punto fisso di una mappa su R.
Dimensione frattale di Kolmogorov, calcolo su Cantor.
15/3:
Cenni integrale di Lebesgue, confronto integrale di Rieman. Classi di equivalenza di funzioni, spazi L^p, separabilità.
Spazi di funzioni a supporto compatto. Prodotto tensoriale di spazi vettoriali, completezza.
20/3:
Spazi L^p e M.Q. Inclusione, relazione di densità tra spazi C e L^p. Spazio L^inf., non separabilità.
Nozioni di convergenza, puntuale, uniforme, quasi ovunque, in misura, uniforme q.o., in media p.
Diseguaglianza di Holder, relazione tra spazi L^k in domini finiti e infiniti. Prodotto scalare, semilinearità, ortogonalità.
Norma indotta e diseguaglianza triangolare. Spazi euclidei, C^n, l^2, C[a,b], L^2.
22/3:
Base generica, ortogonale e ortonormale. Tensore metrico, covarianza e controvarianza. Diseguaglianza di Schwarz. Continuità del prodotto scalare.
Norma L^2, legge del parallelogramma. Indipendenza vettori ortogonali.
27/3:
Base ortonormale in dimensione finita. Ortogonalizzazione di Graam-Schmidt. Basi ortonormali in C^n, l^2, L^2[-pi,pi].
Polinomi ortonormali, Legendre, con misura (peso) Chebyshev, Hermite, Laguerre in [-1,1], [-inf,inf], [0,inf].
Cenni polinomi di Chebyshev, ricorrenza, normalizzazione, zeri. Polinomi di Laguerre, ricorrenza.
29/3:
Spazi euclidei infinito-dimensionali. Rappresentazione in elementi della base, coefficienti di Fourier. Diseguaglianza di Bessel.
Convergenza in spazi separabili. Serie di Fourier. Uguaglianza di Parseval. Spazi di Hilbert. Convergenza in L^2, Teorema di Riesz-Fisher (dim.).
Isomorfismo tra l^2 e L^2.
5/4 4h:
[da miei appunti 13/12-8/1-10/1-13/1-15/1] Sottospazi di H, complemento ortogonale, decomposizione e somma diretta.
Funzionali lineari, duale di uno spazio normato. Dualità l^p l^q, l^2. Teorema di rappresentazione di Riesz (dim.).
Operatori lineari su H, domino e range, varietà lineari. Matrici come operatori. Algebra degli operatori, commutatività, inverso.
Operatore limitato tra spazi normati, norma. Proprietà operatore x e derivata. Operatori in C^n.
10/4:
[fine 15/1] Operatori x e derivata in vari domini. Limitatezza e continuità (dim.). Aggiunto di un operatore limitato.
Aggiunto di operatore in C^n. Autoaggiuntezza, e realtà di (x|Ax). Varie proprietà dell'aggiunto.
12/4:
Operatore di proiezione, continuità, limitatezza, idempotenza, norma, commutazioni. Operatori unitari, isometria. Es. traslazioni in L^p.
Condizione nec e suff. su aggiunto e inverso (dim.). Teorema del rango.
17/4:
Spettro di operatori in spazi finito dimensionali. Autovalori e autovettori, operatore risolvente. Equazione secolare per rappresentazione matriciale.
Molteplicità geometrica e algebrica. Diagonalizzazione, definizione e condizioni. Indipendenza lineare autovettori.
Diagonalizzabilità per autovalori tutti distinti. Rappresentazione spettrale e matrice degli autovettori.
Funzione di operatore diagonalizzato, inverso, esponenziale. Autoaggiuntezza e autovalori reali. Ortogonalità autovettori.
Invarianza del sottospazio ortogonale ad autovettore.
3/5:
Autovettori di operatore autoaggiunto sono ortogonali (dim.). Autovettori di operatori che commutano. Commutazione di operatori con n autovettori comuni.
Operatori normali, autoagg, antiautoagg, unitari. Normalità e ortogonalità degli autovettori. Operatori in spazi di Banach infinito dimensionali.
Proprietà del risolvente, punti regolari.
8/5:
[testo e appunti zaffaroni, p. 10-15?] Spettro discreto, continuo, residuo. Autovettori "approssimati". Spettro di operatori autoaggiunti.
Esempi operatori limitati e non limitati.
15/5:
Spettro di operatori autoaggiunti e limitati, reale (dim.), compatto, compreso tra inf e sup di
17/5:
Opratori compatti, spettro numerabile. Operatori a risolvente compatto, autovalori isolati a molteplicità finita, problemi al contorno.
Rappresentazione spettrale di operatori compatti e autoaggiunti, con autovalore nullo o senza.
22/5:
Autoaggiuntezza di operatori non limitati. Definizione di aggiunto. Operatore hermitiano, simmetrico, autoaggiunto.
Restrizioni sul domino degli operatori non limitati. Operatore normale. Teorma di von Neumann.
Operatori simmetrici, positivi, def. positivi, semi-limitati inf., semi lim. Inf. Positivo. Criteri di autoaggiuntezza.
Estensioni e restrizioni di dominio. Autoaggiuntezza dell'operatore impulso e energia cinetica.
24/5:
Formulazione debole dei problemi differenziali. Cenni sulle distribuzioni. Delta di Dirac. Spazi di Sobolev. Derivata debole in W^1,2.
Metodi variazionali per operatori a spettro limitato inferiormente e discreto. Quoziente di Ritz. Metodo di Rayleigh-Ritz.
Quoziente di Ritz e autovalori.
29/5:
Teorema di Poincaré (dim.). Miglioramento e convergenza di autovalori e autovettori. Equivalenza al principio di minimax.
Upper e lower bounds per operatori autoaggiunti. Formula di Temple, di Weinstein (dim.). Formule di Kato (dim.).
31/5:
Esempio di determinazione di spettro, effetto Zeeman quadratico per l'atomo di idrogeno. Applicazioni fisiche. Equazioni di partenza.
Coordinate semiparaboliche. Problema agli autovalori generalizzato. Simmetrie del sistema e basi in sottospazi di data parità e momento angolare m.
Formulazione e convergenza in spazi con diverse misure.
5/6:
Formule di Kato per errore su autofunzioni (dim. prima formula). Proprietà delle matrici, struttura a bande, dimensione delle matrici.
Rappresentazione esatta di stati imperturbati. Funzioni di base e polinomi di Laguerre, normalizzazione, alcune formule di ricorrenza.
Cenni di integrazione numerica. Scelta dei parametri per le formule di Kato. Esempi di risultati.
7/6:
Varie su metodi numerici. Formule di integrazione di Gauss. Metodi di ricerca di radici, metodo di bisezione, della secante, di Newton con esempio.
Cenni su minimizzazione. Esempio di problema agli autovalori, sistema di Bénard e uso delle precedenti tecniche.
Appelli
Prima sessione ordinaria 2019.
Prolungamento Prima sessione 2019
Seconda sessione ordinaria 2019
Terza sessione ordinaria 2019
Prolungamento Terza sessione 2019
Testi delle prove: