Metodi Analitici per l'Ingegneria I 2015-2016
Corso di laurea in Ingegneria Edile - Architettura
Argomenti lezioni e materiale didattico AA 2015-2016
Programma (previsto):
12/10 (2h):
Assiomi dei numeri reali, par. 1, 2 e parte del 3 dal Marcellini-Sbordone "Analisi Matematica 1" Ed. Liguori (MS)
(o anche la versione più compatta del precedente testo: Marcellini-Sbordone "Elementi di Analisi Matematica 1") .
Richiami di insiemistica, par. 4 MS. Numeri naturali, interi, razionali par. 5 MS.
Rappresentazione cartesiana delle funzioni par. 6 MS. Introduzione disequazioni di 1° e 2° grado da
G. Di Fazio-P. Zamboni "Eserciziari per Ingegneria - Analisi Matematica uno" Ed. Edises. (DFZ) Cap. 1.
Come libro si esercizi sarà usato anche Caponetto-Catania "Esercizi di Analisi Matematica I", ed. CULC " (CC).
14/10 (2h):
Disequazioni di 2° grado, esempi, studio disequazione parametrica (DFZ Cap. 1).
Funzioni iniettive, suriettive, biunivoche, funzioni monotone, insieme immagine (MS par. 7).
16/10 (3h):
Immagine e controimmagine. Funzioni composte. Funzione lineare. Valore assoluto, proprietà e grafico.
Potenze intere e razionali, proprietà. Principio di induzione, esempio. Potenze reali.
Proprietà della funzione potenza e della funzione esponenziale, numero di Nepero.
Logaritmi, proprietà. (MS par. 7,8,9,11).
19/10 (2h):
Angoli, gradi e radianti. Circonferenza trigonometrica, seno e coseno, periodicità, grafico, principali identità,
angoli notevoli da MS par. 10 e DFZ par. 1.4.
21/10 (2h):
Seguito angoli notevoli e identità trigonometriche, disequazioni trigonometriche da MS par. 10 e DFZ par. 1.4.
Esercizi.
Disequazioni irrazionali da DFZ par. 1.2.
23/10 (4h):
Seguito disequazioni irrazionali con esercizi.
Insiemi di numeri reali, assioma di completezza (MS par. 2), massimo e minimo, insiemi limitati, esempi, da MS par. 13.
26/10 (2h):
Estremi di insiemi reali, insiemi illimitati, esempi MS par. 13.
Calcolo combinatorio, disposizioni e permutazioni, esempi MS par. 15.
28/10 (2h):
Calcolo combinatorio, combinazioni, binomio di Newton, esempi ed esercizi MS par. 15.
Successioni, definizione di limite, successioni convergenti e divergenti, esempi da MS par. 23.
30/10 (3h):
Unicità del limite (dim.). Successioni limitate. Operazioni coi limiti. Forme indeterminate.
Teoremi di confronto, permanenza del segno (dim.), carabinieri (dim.). Limiti delle potenze.
Diseguaglianza di Bernoulli. Vari esempi. Da MS par. 23-27.
4/11 (2h):
Svolgimento esercizi assegnati.
Conclusione limiti delle potenze, limiti di radici, funzioni trigonometriche. MS par. 29.
6/11 (3h):
Limiti funzioni trigonometriche MS par. 29, esercizi. Successioni monotone, e loro regolarità (dim.). MS par. 30.
Numero di Nepero, forme indeterminate esponenziali. MS par. 31.
Criterio del rapporto (dim.), infiniti di ordine crescente, esempi. MS par. 33.
Successioni estratte e teorema di Bolzano-Weierstrass (no dim.). MS par. 34. Esercizi.
9/11 (2h):
Altra dimostrazione del criterio del rapporto. Limiti connessi al numero di Nepero, da MS par. 31 e esercizio 3.20.
Esercitazione sui limiti di successioni (vedi file elencati sotto).
11/11 (2h):
Limiti di funzioni, due definizioni. Limiti infiniti, limite all'infinito, limite destro e sinistro.
Continuità e tipi di discontinuità. MS par. 41.
13/11 (3h):
Campo di esistenza di funzioni, funzioni pari e dispari, composizione di funzioni. Esercizi.
Ripresa limiti di funzione, punti di accumulazione di un insieme, definizioni di limiti, finiti e infiniti,
operazioni coi limiti, esempi. MS par. 41-43.
Continuità di funzioni e tipo di discontinuità, esempi. MS par. 44.
16/11 (2h):
Proprietà delle funzioni continue: Teorema della permanenza del segno,
Teorema di esistenza degli zeri, Teorema di Weierstrass (no dim.). Esempi. MS par. 46.
18/11 (2h):
Primo e secondo teorema dei valori intermedi. Invertibilità delle funzioni continue e monotone. MS par. 46.
Introduzione alle derivate, rapporto incrementale, definizione di derivata, esempi notevoli. MS par. 52-53.
20/11 (3h):
Funzione derivata, notazione, derivate n-esime, esempi.
Operazioni con le derivate (somma, prodotto, rapporto), esempi: derivate di potenze e polinomi, funzioni razionali.
Derivata funzione composta e inversa. Derivate elementari, logaritmo, esponenziale, funz. trigonometriche. MS par. 53-56.
23/11 (2h):
Esercitazione derivate. Significato geometrico della derivata. Funzioni trigonometriche inverse. MS par. 57-58.
25/11 (2h):
Derivate funzioni trigonometriche inverse. MS par. 58. Teoremi di Fermat, Rolle, Lagrange. MS par. 60-61.
27/11 (3h):
Dim. Teorema di Lagrange. Monotonia e derivata prima. Definizione convessità e concavità. MS par. 61-63.
30/11 (2h):
Esercitazioni. Criterio di convessità. MS par. 63. Studio di funzione.
2/12 (2h):
Punti angolosi e cuspidi. Studio di funzioni.
4/12 (2h):
Asintoti orizzontali, verticali, obliqui. Studio di funzioni.
9/12 (2h):
Esercitazione studio di funzioni.
11/12 (3h):
Prova in itinere.
14/12 (2h):
Introduzione all'integrale definito. Aree e metodo di esaustione.
Partizioni, somme integrali, integrale secondo Riemann, proprietà. MS par. 78-80.
16/12 (2h):
Teorema di Cantor (no dim.), uniforme continuità, integrabilità funzioni continue (dim.),
teoremi della media (dim.). Integrabilità funzioni monotone (dim.). MS par. 81-84.
18/12 (3h):
Lipschitzianità e funzioni a derivata limitata (dim.). MS par. 85.
Integrazione: funzione integrale, teorema fondamentale del calcolo integrale (dim.),
primitive, formula fondamentale del calcolo integrale (dim.), integrale indefinito, proprietà,
integrali notevoli. MS par. 86-89. Esercitazione. Per esercitazioni vedi file a fondo pagina.
21/12 (2h):
Ripasso connessione tra integrazione definita e indefinita.
Integrazione di funzioni razionali. Divisione di polinomi.
Vari casi con denominatore di secondo grado. MS par. 86-90.
Esercitazioni.
8/1 (3h):
Esercitazione su integrali di funzioni razionali.
11/1 (2h):
Integrazione per parti. MS par. 91. Esercitazioni.
13/1 (2h):
Integrazione per sostituzione. MS par. 92. Esercitazioni.
15/1 (2h):
Integrali impropri, teorema del confronto, esempi notevoli (potenze di x). MS par. 95.
18/1 (2h):
Serie numeriche. Serie a termini positivi, regolarità. Teorema del confronto.
Serie notevoli: serie di Mengoli, serie geometrica (dim. comportamento e somma),
serie armonica (dim. divergenza), serie armonica generalizzata.
20/1 (2h):
Esercitazioni. Criterio degli infinitesimi (dim.) e criterio del rapporto. MS par. 108.
22/1 (2h):
Criterio del rapporto (dim.), criterio della radice. Serie di tipo telescopico. Esercitazioni. MS par 108.
25/1 (2h):
Serie alternate, criterio di Leibniz (dim.). Assoluta convergenza. Teorema sull'assoluta convergenza (no dim.).
MS par. 109 110.
27/1 (2h): Esercitazioni.
29/1 (2h): Prova in itinere.
Appelli
Esercizi
A titolo di esercitazione, risolvere gli esercizi dei testi proposti (Di Fazio-Zamboni, Caponetto-Catania)
o vedere ad esempio i file linkati di seguito (di altri docenti).
Sulle successioni:
Politecnico di Torino,
R. Argiolas.
Studio di funzioni:
Politecnico di Torino 1
e 2
Integrali:
Politecnico di Torino 1
e 2
Serie (dove si propone di usare il confronto asintotico, provare a usare il criterio degli infinitesimi,
possibilmente limitarsi agli esercizi risolvibili coi criteri spiegati nel corso):
Politecnico di Torino 1
e
2.
Università di Pisa 1.
Un testo con vari esercizi svolti su tutto il programma (studi di funzione, integrali, serie ed altro):
A. Corli e A. Ascanelli (Univ. Ferrara).
Argomenti di teoria
Nella prova scritta potrà essere richiesta la dimostrazione dei seguenti teoremi e formule,
qui raggruppati per argomento generale:
Argomenti introduttivi:
diseguaglianza di bernoulli;
esistenza degli estremi (superiore e inferiore) di un insieme limitato.
Successioni:
limitatezza delle successioni convergenti;
permanenza del segno; dei carabinieri;
regolarità delle successioni monotone;
criterio del rapporto per successioni;
Funzioni:
permanenza del segno; esistenza degli zeri.
Derivazione:
continuità delle funzioni derivabili;
significato geometrico della derivata;
derivate delle funzioni trigonometriche inverse;
di Fermat;
di Rolle;
di Lagrange;
di de l'Hopital (per funzioni con derivata continua);
criterio di convessità (legame tra convessità e derivata prima e seconda).
Integrazione:
primo e secondo teorema della media;
teorema fondamentale del calcolo integrale;
formula fondamentale del calcolo integrale.
Serie numeriche:
condizione necessaria alla convergenza (la successione dei termini di una serie convergente è infinitesima);
divergenza della serie armonica;
criterio degli infinitesimi;
criterio del rapporto per serie.
Potranno essere richieste anche definizioni,
enunciati di teoremi, formule ed esempi notevoli
relativi agli argomenti del programma, quali
Definizione di:
Estremo di un insieme numerico;
Disposizioni, permutazioni, combinazioni e relative formule;
Funzione monotona;
Funzione inversa;
Successione monotona;
Successione convergente;
Successione divergente;
Successione limitata;
Successione estratta;
Funzione continua;
Tipi di discontinuità con esempi;
Punto di accumulazione di un insieme numerico;
Derivata;
Derivata destra e sinistra;
Massimo e minimi relativi;
Funzioni pari e dispari, con esempi;
Asintoti orizzontali, verticali e obliqui;
Funzione lipschitziana;
Integrale definito (secondo Riemann);
Primitiva;
Uniforme continuità;
Integrale improprio;
Serie convergente, divergente, indeterminata;
Convergenza assoluta delle serie.
Enunciati di:
Principio di induzione;
Unicità del limite delle successioni;
Teorema di Bolzano-Weierstrass;
Esistenza dei valori intermedi (per funzioni continue);
Teorema di Weierstrass;
Derivata della funzione inversa;
Teorema di Cantor;
Integrabilità delle funzioni continue;
Proprietà delle serie a termini non negativi;
Criteri del confronto e della radice (per serie);
Criterio di convergenza per le serie alternate (crit. di Leibniz).
Esempi e formule notevoli:
Binomio di Newton;
Seno, coseno e tangente di angoli notevoli;
Esempi di successioni convergenti, divergenti, non regolari;
Limite di an al variare di a;
Numero di Nepero;
Alcuni infiniti di ordini crescente (per successioni);
Funzione non derivabile;
Derivata di potenza;
Derivata del logaritmo;
Crescenza, decrescenza e convessità delle funzioni trigonometriche;
Integrali impropri di potenze di x;
Serie di Mengoli;
Serie geometrica;
Serie armonica generalizzata.