[∀x.(P(x)→Q(x))]2 [∀x.P(x)]1
----------------------- ------------
P(x)→Q(x) P(x)
------------------------------------
Q(x)
-------
∀x.Q(x)
------------------ (1)
∀x.P(x)→∀x.Q(x)
---------------------------------------- (2)
∀x.(P(x)→Q(x)) → (∀x.P(x)→∀x.Q(x))
La formula
∀x.(P(x)→Q(x)) → (∀x.P(x)→∀x.Q(x))
e' un teorema (lo abbiamo appena dimostrato prima).
Quello che non e' un teorema e'
(∀x.P(x)→∀x.Q(x)) → ∀x.(P(x)→Q(x)).
Infatti esiste una struttura in cui tale formula non e' vera (non serva considerare
gli ambienti, poiche' la formula e' chiusa).
Una tale possibile struttura e' quella dei numeri naturali in cui
interpretiamo P(x) come "x e' divisibile per 3"
e Q(x) come "x e' divisibile per 6".
In tale struttura la formula e' falsa.