Iniziamo dalla prima parte.

Dobbiamo dimostrare due cose:

1) se la regola èmmissibile allora (|= A1, |= A2,...., |=An) implica |= C
2) se (|= A1, |= A2,...., |=An) implica |= C allora la regola èmmissibile


1) Supponiamo che R sia ammissibile e dimostriamo che
(|= A1, |= A2,...., |=An) implica |= C

Se |= A1, |= A2,...., |=An
allora, per completezza della logica proposizionale, abbiamo che
|-- A1, |-- A2,...., |-- An
Qnesto vuol dire che esistono delle derivazioni per le varie Ai
Mettiamo ora queste derivazioni una di seguito all'altra:

:
:
A1
:
:
A2
:
:
:
:
An

Quella che otteniamo e' ancora una derivazione corretta in Po.
Al termine di questa derivazione mettiamo C, che inseriamo in quanto  conclusione
della regola R con premesse A1,A2,..,An

:
:
A1
:
:
A2
:
:
:
:
An
C     R

Questa derivazione e' quindi una derivazione in Po+R
Abbiamo cosi' dimostrato C in P0+R. quindi, poiche' ho assunto che R fosse ammissibile,
 la stessa C la posso ottenere anche in P0. ho dimostrato cosìhe |- C e quindi, per
la correttezza di Po, anche |= C



2) 
Presa la derivazione per gamma  |- (p0+r) ALFA
che supponiamo di avere, questa conterra' eventualmente delle applicazioni di r.
Prendiamo la prima applicazione di r

:
A1
:
A2
:
:
An
:
C      r
:
:
:
alfa

Essendo quella indicata la prima applicazione di r,
le sottoderivazioni per A1,A2....An fanno vedere che
|--Po  A1,  |--Po A2, .. |--Po  An
Quindi esiste una derivazione che mostra che |--Po  C.
Sia
-
-
-
C
tale derivazione.
La possiamo quindi prendere e sostituire all'applicazione della regola r,
ottenendo
:
A1
:
A2
:
:
An
:
-
-
-
C
:
:
:
alfa

Applichiamo questa procedura su tutte le allpicazioni della regola r
e atteniamo cosi' una derivazione con alfa come conclusione, ed in cui la regola r non viene
usata.


Passiamo alla seconda parte.

Per utilizzare la proprieta' dimostrata sopra,
occorre far vedere che

|= not(A -> not(B)) implica  |= A

Se |= not(A -> not(B)), allora per ogni assegnamento proposizionale
not(A -> not(B)) e' vera e quindi (A -> not(B)) e' falsa,
il che siognifica che per ogni assegnamento proposizionale
A e' vera e not(B) e' falsa.
Quindi, se per ogni assegnamento proposizionale A e' vera,
|= A