Dimostriamo per prima cosa che ogni stringa di terminali generata dalla Grammatica G₁ e' derivabile in G₂.
Ogni stringa di terminali x generata dalla Grammatica G₁ èottenuta necessariamente da derivazioni del tipo:
S =>¹ b
oppure
S =>ⁿ aⁿS =>¹ aⁿb con n>0
Ogni stringa della forma aⁿb (n>=0) si puo' generare con la grammatica G₂ con una derivazione della forma
S =>¹ b se n=0
oppure S =>¹ Ab =>^n-1 Aa^n-1b =>¹ aⁿb se n>0
Viceversa, dimostriamo per prima cosa che ogni stringa di terminali generata dalla Grammatica G₂ e' derivabile in G₁.
Dalla forma delle produzioni, si puo' vedere che ogni derivazione nella grammatica G₂ a partire da S deve iniziare necessariamente con
S =>¹ b oppure con S =>¹ Ab
Nel primo caso la derivazione non puo' proseguire, mentre nel secondo puo' proseguire solamente con A --> Aa oppure con A --> a. Questo significa che le derivazioni che non terminano direttamente nella stringa "b" hanno necessariamente la forma S =>¹ Ab =>^n-1 Aa^n-1b =>¹ aⁿb con n>0. Stringhe della forma aⁿb con n>=0 si possono derivare nella grammatica G₁ nel modo seguente;
S =>¹ b
se n=0 oppure
S =>ⁿ aⁿS =>¹ aⁿb se n>0

Avendo dimostrato che le stringhe di terminali generabili con G₁ sono gererabili anche con con G₂ e viceversa, le due grammatiche sono equivalenti.

Una dimostrazione piu' formale di questa si puo' avere facendo ricorso al principio di induzione ogni volta che si afferma una proprieta' che valga per ogni n.
Nel caso presente, essendo tali proprieta' abbastanza semplici, si puo' evitare di fare ricorso al principio di induzione.