-  Usando le proprieta` dell'algebra di Boole dimostrare la
  seguente equazione:
   A + not{A} B = A + B.  


SOLUZIONE:

        Per il principio di dualita' dimostrare la relazione sopra equivale a dimostrare la sua
        duale, cioe' la relazione:

             not(A) [A + not(B)] = not(A) not(B)

        Ma questa e' subito provata, infatti:

            not(A) [A + not(B)] = not(A) A + not(A) not(B) = not(A) not(B)

        essendo not(A) A = 0 per l'assioma not(X) X = 0



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- Trasformare in forma SOP (somma di prodotti) la seguente
  espressione:
   [X1 + X2 (not{X3 + X4 not{X1}})] X3.


SOLUZIONE:

        {X1 + X2 [not(X3 + X4 not(X1)] X3 => (applicando De Morgan per la negazione di somme) = 
        
        = {x1 + x2 [not(x3) not(x4 not(x1))]} x3 => (applicando l'altra relazione di De Morgan) =

        = {x1 + x2 [not(x3) (not(x4) + x1)]} x3 = {x1 + x2 [not(x3) not(x4) + x1 not(x3)]} x3 =

        = [x1 + x2 not(x3) not(x4) + x1 x2 not(x3)] x3 = 

        = x1 x3 + x2 not(x4) [not(x3) x3] + x1 x2 [not(x3) x3] = x1 x3

        essendo not(x3) x3 = 0


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- Trasformare in forma SOP canonica la seguente espressione:
    (A + B)(not{A} + B)(not{B + C})



SOLUZIONE:

        (A + B)(not(A) + B)(not(B + C)) => (Applicando De MOrgan) =
        
        = (A + B)(not(A) + B) not(B) not(C)

        La forma SOP la si ottiene considerando la duale della relazione ottenuta, cioe':

        not(A) not(B) + A not(B) + B + C = not(B) [not(A) + A] + B + C = not(B) + B + C =

        1 + C = 1



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- Sia F una funzione di 4 variabili definita da
  F=not{A} B not{C} D + A B not{C} D + A B C D +
  A not{B} C D. Utilizzare una mappa di Karnaugh per trovare la
  forma SOP minima equivalente.



SOLUZIONE:



      AB
     \     00    01    11    10
  CD  \ -------------------------
        |     |     |     |     |               La forma minima si ottiene raggruppando a due  
    00  |     |     |     |     |               a due, orizzontalmente, i bit adiacenti ottenendo
        -------------------------               cosi':
        |     |     |     |     |
    01  |     |  1  | 1   |     |                       F = B not (C) D + A C D
        -------------------------
        |     |     |     |     |
    11  |     |     | 1   |  1  |            
        -------------------------
        |     |     |     |     |
    10  |     |     |     |     |
        -------------------------




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- Minimizzare la funzione F dell'esercizio precedente
  utilizzando il metodo algebrico.



SOLUZIONE:


        F = not(A) B not(C) D + A B not(C) D + A B C D + A not(B) C D =

        = (not(A) + A) B not(C) D + (B + not(B)) A C D = B not(C) D + A C D)