Attualita` e pratica dell'aritmetica Maya Estratto da: A. D'Agata, B. Radelli, G. Scollo, Atti V Convegno Nazionale Informatica, Didattica e Disabilita` (IDD'97) Bologna, 5--8 Nov. 1997; EGR, Firenze (1997) pp. 51-54. 1. Introduzione E` opinione corrente - v. ad es. [Ifrah, 1985] - che la natura cosiddetta _additiva_ della formazione delle cifre quale si riscontra nei sistemi di rappresentazione dei numeri Babilonese, Cinese e Maya, sia sintomo e/o conseguenza di una certa primitivita` dello stadio di sviluppo e del livello di astrazione delle conoscenze matematiche presso tali culture. L'aritmetica Maya, tuttavia, e a differenza delle altre due citate, e` posizionale (in base venti) e possiede il concetto di zero sin dai primi tempi di cui se ne abbia testimonianza. Come documentato in [Caldero'n, 1966] (e contrariamente all'opinione in [Ifrah, 1985]), il sistema di rappresentazione Maya consente l'esecuzione delle operazioni aritmetiche fondamentali, e di piu` complesse quali estrazione di radice quadrata e cubica, con algoritmi del tutto analoghi a quelli in uso nella rappresentazione posizionale decimale. Qui, come anche in [De Gasperi, 1994], interessa soprattutto introdurre ed illustrare le attualita` possibili dell'aritmetica Maya in relazione alla didattica della matematica al primo livello dell'educazione, sia in generale, sia con particolare riferimento, da un canto, alle comunita` di lingua e cultura Maya (Messico, Guatemala), coerentemente con il senso della proposta avanzata in [Radelli, 1995], dall'altro canto, ad alunni affetti da inabilita` sensoriali (visione, udito). Ci si limita dunque a considerazioni essenziali in merito agli algoritmi di esecuzione delle quattro operazioni aritmetiche elementari, quando si usi la rappresentazione Maya dei numeri (o altre di analoga natura, ma ad esempio decimale anziche` vigesimale). Le considerazioni che seguono sono motivate da un duplice desiderio: 1) mostrare, con argomenti rigorosi ed elementari, la correttezza dei procedimenti di calcolo proposti, 2) dare suggerimenti utili a suscitare l'interesse alla matematica attraverso metodi educativi _divertenti_, cioe` che usino occasioni di gioco educativo, e _ri-creativi_, cioe` tali da stimolare creativita` e spirito critico anziche` mortificarli. 2. Esecuzione di operazioni aritmetiche elementari Punto di partenza per le considerazioni algoritmiche che seguono e` l'osservazione di alcune proprieta` che la rappresentazione Maya dei numeri possiede, in comune con altri sistemi dell'antichita`, e che facilitano sia il primo impatto con la matematica sia, come vedremo avanti, la stimolazione e lo sviluppo di capacita` deduttive nell'esecuzione di calcoli aritmetici: o la natura _ostensiva_ delle cifre, dove cioe` il significato della cifra e` mostrato dalla sua forma; o la costruzione _additiva_ delle cifre, per incrementi unitari in ordine naturale; o l'uso di un oggetto o segno specifico per la cifra cinque, di chiara origine antropomorfica, che dunque non altera la natura ostensiva, anzi serve a realizzarla anche con cifre piuttosto grandi (ad esempio, per percepire, visivamente o al tatto, la differenza fra una configurazione di sedici oggetti-unita` ed una configurazione che ne abbia diciassette occorre contare gli oggetti, mentre la percezione della differenza e` praticamente immediata se si rimpiazzano quindici degli oggetti in questione con tre oggetti-cinquina); o la rappresentabilita` delle cifre con configurazioni di oggetti concreti (quali: chicchi di mais, bastoncini e gusci di conchiglie, come nella tradizione Maya; sassolini, come nella tradizione mediterranea, da cui l'etimologia della parola _calcolo_). Per le finalita` illustrative delle considerazioni che seguono, e per ragioni di semplicita`, qui si assume che l'esecuzione degli algoritmi faccia uso di un abaco quadrato, quale quello proposto in [Caldero'n, 1966] (ma alcuni degli algoritmi che qui seguono hanno caratteristiche pratiche differenti dai corrispondenti algoritmi li` considerati). Va tuttavia detto che gli algoritmi qui presi in considerazione sono anche realizzabili, con ovvie varianti, sul classico abaco rettangolare di origine araba o indiana, o senza abaco (grazie alla presenza dello zero, come e` facile intuire). 2.1 Somma La rappresentazione posizionale di un numero intero n come sequenza di cifre in base b (b>1) raffigura l'esprimere n come sommatoria dei prodotti del numero rappresentato da ciascuna cifra per la _significativita`_ della posizione di questa nella sequenza. Per significativita` si intende dunque quella potenza della base che ha per esponente la posizione stessa, purche` si numerino le posizioni a partire da 0 (posizione meno significativa). La rappresentazione si estende ai numeri razionali (con parte frazionaria) numerando negativamente, in progressione, le posizioni di significativita` inferiore all'unita`. Carattere comune degli algoritmi per la somma (di due o piu` numeri) in rappresentazioni posizionali e` la scomposizione dell'esecuzione in quella delle somme delle cifre di uguale significativita`, il che e` giustificato dalle proprieta` associativa e commutativa della somma e dalla proprieta` distributiva del prodotto rispetto alla somma. Inoltre, come e` noto, poiche` una cifra puo` non bastare a rappresentare il risultato della somma di due cifre, un altro carattere comune degli algoritmi in considerazione e` la possibilita` del riporto sulla posizione adiacente piu significativa. L'incantevole semplicita` dell'algoritmo di somma nella rappresentazione Maya consegue da due pregi della forma additiva delle cifre, rispettivamente corrispondenti ai due caratteri comuni suddetti: 1) sommare due (o piu`) cifre altro non e` che metterne assieme gli oggetti (niente conti sulle dita ne` somme di cifre da mandare a memoria, dunque) e 2) se la configurazione di oggetti cosi` ottenuta non e` una cifra, la si trasforma in una sequenza di cifre semplicemente applicando le regole _orientate_: cinque oggetti-unita` -> un oggetto-cinquina quattro oggetti-cinquina -> un oggetto-unita` nella posizione adiacente piu significativa la cui correttezza e` immediatamente verificata per la definizione della rappresentazione Maya, e la cui applicazione realizza automaticamente il riporto, quando questo c'e`. Questo fatto, assieme alle suddette proprieta` della somma e, ancora qui, alla virtu` additiva della forma delle cifre, giustifica l'eseguibilita` delle somme parziali (quelle cioe` delle cifre di uguale significativita`) in ordine arbitrario, o anche simultaneamente da parte di piu` esecutori. Lo sfruttamento di quest'ultima possibilita` sembra particolarmente raccomandabile per le varie occasioni di gioco educativo a cui naturalmente si presta. 2.2 Sottrazione L'operazione di sottrazione puo` essere utilmente presentata come inversa dell'addizione, ovvero come soluzione al problema: noto il risultato di una somma ed uno degli addendi, determinare l'altro addendo. In tal modo e` facile far intuire la correttezza di un algoritmo che fisicamente _separa_ o _estrae_ il sottraendo (l'addendo noto) dal minuendo (il risultato della somma di cui nell'enunciato del problema). L'esecuzione puo` dunque procedere cifra per cifra, in ordine arbitrario purche`, quando sia necessario, si applichino le due regole date sopra ma con orientamento invertito. Di fatto, l'esecuzione di tale algoritmo nella rappresentazione Maya opera dunque, quando necessario, la trasformazione del minuendo in una forma equivalente (secondo le due suddette regole di convertibilita` fra oggetti) che fisicamente contenga il sottraendo, e ne _estrae_ fisicamente quest'ultimo. Come e` noto, la sottrazione fra due numeri naturali e` definita solo se il minuendo non e` inferiore al sottraendo. L'esecuzione dell'algoritmo suddetto richiede pertanto un controllo preliminare che, pur di facile presentazione, non risulta necessario se si considera il calcolo della _differenza_ fra due numeri. Per tale calcolo, un algoritmo alternativo al precedente e` basato sull'osservazione che la differenza fra due numeri e` invariante per somma o sottrazione di uno stesso numero ad entrambi. Nella rappresentazione Maya si puo` dunque procedere estraendo, dalle due configurazioni date, oggetti uguali in ugual posizione, fino a quando una delle due configurazioni risulta priva di oggetti. Per ottenere tale situazione, naturalmente, puo` esser necessaria l'applicazione delle due regole di conversione suddette; si noti pero` che l'invarianza della differenza per somma di numeri uguali consente anche l'uso delle due regole di conversione con l'orientamento dato per la somma. Ad esempio, per ottenere la differenza fra un oggetto-cinquina e due oggetti-unita` si puo` procedere aggiungendo per tre volte un oggetto-unita` ad ambo le parti, convertendo poi i cinque oggetti-unita` della seconda parte in un oggetto-cinquina, e rimuovendo infine l'oggetto-cinquina da entrambe. A fini pedagogici sembra utile raccomandare lo sfruttamento di tutte le possibilita` delineate sopra, cercando di condurre l'allievo alla _scoperta_ di quei modi d'uso delle regole di conversione che portano alla soluzione del problema. 2.3 Moltiplicazione Sembra verosimile che l'apprendimento mnemonico della tavola della moltiplicazione sia, comprensibilmente, all'origine di moltissimi casi di presunta "innata antipatia per i numeri". Non occorre qui discutere di questo, ma basta notare che la dimensione della tavola cresce con il quadrato della base. Sembra dunque inverosimile che nel sistema Maya, a base venti, o in quello babilonese, a base sessanta, l'esecuzione della moltiplicazione debba richiedere la memorizzazione preventiva dell'analoga ma ben piu` poderosa tavola. Cosi` infatti non e`, grazie alla natura additiva delle cifre in detti sistemi. Una naturale alternativa didattica alla _memorizzazione_ dei prodotti di coppie di cifre e` la _costruzione_ di detti prodotti, sulla scorta della definizione dell'operazione di moltiplicazione quale somma iterata. Attraverso tale esercizio spesso si passa comunque, se si vuole che in qualche modo gli allievi acquisiscano il senso di cio` a cui li si addestra. L'esecuzione di detto esercizio nella rappresentazione Maya gode dunque dei vantaggi gia` notati sopra per l'esecuzione della somma. Esiste pero` anche un problema pratico, che puo` essere utilmente sfruttato a fini educativi, e che ben esemplifica le potenzialita` ri-creative della didattica della matematica che qui si considera. Si tratta della ripetitivita` operativa inerente all'esercizio (sommare ripetutamente la stessa cifra), che facilmente induce tedio quando le cifre di cui si vuol costruire il prodotto siano relativamente alte. Tale fatto (effetto collaterale dell'antidoto alla memorizzazione che qui si considera) puo` essere sapientemente usato quale stimolo perche` gli allievi si provino ad escogitare procedimenti piu` rapidi. Nei casi fortunati, qualcuno fra loro scoprira` che, ad esempio, effettuare cinque volte la somma di un oggetto-unita` risulta in un oggetto-cinquina, e magari anche che effettuare cinque volte la somma di un oggetto-cinquina risulta (nella rappresentazione Maya) in un oggetto-cinquina nella stessa posizione piu` un oggetto-unita` nella posizione adiacente piu` significativa, e che dunque l'uso immediato di tali risultati accelera l'esecuzione e riduce il tedio. Anche nei casi meno fortunati, quando il "trucco" dovra` essere rivelato da chi educa, sara` comunque una rivelazione liberatoria, il che crediamo ne favorisca la sedimentazione nella memoria. Poi, a ben guardare, il "trucco" altro non e` che un pezzettino di tavola della moltiplicazione; di trucchi di tal sorta e` ricca l'aritmetica elementare. Il fatto pero` che, escogitati o rivelati che siano, li si apprenda in modo operativo contribuira` ulteriormente a sedimentarli nella memoria senza sforzo e, fatto ancor piu` rilevante, ad esercitare e potenziare le capacita` deduttive degli allievi. Il passaggio dalla moltiplicazione di cifre a quella di (rappresentazioni posizionali di) numeri puo` risultare agevolato dall'uso di un abaco, come quello proposto da [Caldero'n, 1966] o quello rettangolare di origine araba o indiana, giacche` la struttura di questi dispositivi, e il modo di disporvi gli operandi e i risultati intermedi fino al risultato finale, riflettono l'esecuzione dell'operazione in questione quale corretta composizione di prodotti di coppie di cifre, e di somme di quelli fra questi che hanno uguale significativita` (somme per diagonali secondarie). La forma dell'abaco, infine, richiama facilmente alla memoria quella di un pezzo da gioco, e se ne puo` suggerire l'uso per creare occasioni di gioco collettivo fra gli allievi, ad esempio l'esecuzione parallela dei calcoli che compongono l'esecuzione della moltiplicazione. 2.4 Divisione In parziale analogia a quanto detto sopra per la sottrazione, l'operazione di divisione puo` essere presentata come "quasi-inversa" (in un certo senso) della moltiplicazione, ovvero, essa da` (fra l'altro) soluzione al problema: noto il risultato di una moltiplicazione (il dividendo) ed uno dei fattori (il divisore), determinare l'altro fattore. Quest'ultimo, com'e` noto, coincide con il quoziente di una divisione che abbia resto zero, il qual fatto spiega in che senso la divisione dia due risultati (quoziente e resto) invece di uno solo. Sembra pero` didatticamente piu` efficace una presentazione che faccia riferisca a situazioni tipiche in cui la soluzione di un problema pratico sia determinata dall'esecuzione di una divisione. Una descrizione tipica di un problema di tal sorta potrebbe essere la seguente. Abbiamo un dato numero di oggetti da distribuire equamente a un dato numero di persone. Quanti oggetti riceve ciascuno? E quanti ne restano (in numero inferiore a quello dei destinatari della distribuzione, che dunque termina giacche` altrimenti si violerebbe il requisito di equita` della stessa)? E` certo facile convincere chiunque che, per dare risposta ad entrambe le domande, basta simulare la situazione proposta: ad esempio, distribuire gli oggetti uno alla volta e contare il numero di volte in cui si completa un giro di distribuzione; detto conteggio fornisce risposta alla prima domanda, ed e` altrettanto naturale la simultanea determinazione della risposta alla seconda. La correttezza di un tale modo di risolvere il problema appare immediatamente percepibile, tuttavia il meccanismo e` certamente tedioso, e praticabile solo quando i numeri in gioco sono abbastanza piccoli. Si puo` allora ragionare sul meccanismo per cercare di semplificarlo, cioe` trasformarlo in uno piu` rapido ma che dia sempre le stesse risposte del primo (altrettanto corretto, dunque). Si potra` osservare che ogni incremento nel conteggio viene effettuato quando, per effetto di un giro di distribuzione, si e` sottratto al dividendo un numero uguale al divisore. Ecco dunque che il meccanismo precedente si riduce a quello di un conteggio di sottrazioni, in cui il sottraendo e` sempre lo stesso (il divisore), ripetute fino a quando la sottrazione e` possibile. Si giustifica dunque facilmente, sia pur in modo intuitivo, la correttezza di un meccanismo che determini il quoziente per sottrazioni successive dal dividendo (che progressivamente diminuisce, fino a trasformarsi nel resto). Giacche` poi il sottraendo e` costante, come lo e` uno degli addendi nelle addizioni ripetute che costituiscono la moltiplicazione, si giustifica anche (sia pure, ancora, in modo intuitivo) la possibilita` di organizzare tale meccanismo sull'abaco in modo "quasi-inverso" a quello della moltiplicazione, cioe` come segue. Si considera il dividendo come formato dalla somma di due parti: una e` il risultato di una moltiplicazione di cui si conosce un fattore (il divisore), dell'altra si sa solo che e` piu` piccola del divisore. Non si tiene conto di quest'ultima, inizialmente, e dunque si disporra`, sull'abaco, il dividendo la` dove starebbe il risultato della moltiplicazione, ed il divisore la` dove starebbe uno dei fattori della stessa (il lato destro). Cio` vale sia che si usi l'abaco quadrato (dividendo sulla diagonale principale, dunque), sia che si usi quello rettangolare (dividendo sui due lati sinistro e inferiore). Le sottrazioni ripetute del divisore produrranno allora il quoziente cifra per cifra, a partire da quella piu` significativa, purche` ciascuna di esse venga effettuata dal "pezzo che serve" (per quella cifra) del dividendo, o di cio` che via via ne rimane. Il "pezzo che serve", cioe` il minuendo di ciascuna sottrazione, e` determinato dal fatto che la sua cifra meno significativa e quella meno significativa del divisore devono trovarsi sulla stessa riga, e sfruttando la liberta` di movimento degli oggetti sull' abaco lungo le diagonali secondarie (liberta` giustificata dal fatto che le caselle lungo ciascuna diagonale secondaria hanno uguale significativita`). Queste brevi note non possono certo avere l'efficacia descrittiva degli esempi pratici, ne` peraltro hanno uno scopo descrittivo. Qui si intende piuttosto mettere in luce la _possibilita`_ di giustificare la correttezza delle regole del gioco aritmetico sull'abaco (quando tali giustificazioni siano didatticamente opportune) in modo tutto sommato semplice ed intuitivo. Esiste allora la possibilita` che lo stimolo ad inventare nuove regole non venga scoraggiato dall'esigenza di giustificare la correttezza delle nuove invenzioni, anzi, che (magari ad uno stadio piu` avanzato dell'educazione matematica) tale esigenza venga percepita ed apprezzata come un gioco ancor piu` interessante. Chi e` consapevole delle complicazioni superflue che tali giustificazioni hanno per gli algoritmi che operano con le rappresentazioni scritte dei numeri, apprezzera` certo la differenza. 3. Conclusioni ed ulteriori indicazioni di lavoro In generale, risulta evidente che le proprieta` visuali e tattili della rappresentazione Maya dei numeri consentono l'esecuzione delle operazioni aritmetiche senza bisogno di tediose memorizzazioni preliminari, quale quella della tavola della moltiplicazione, eliminando cosi` una tradizionale barriera psicologica all'apprendimento _divertente_ e _ri-creativo_ della materia. L'adozione della rappresentazione suddetta nelle comunita` di lingua Maya acquista l'ulteriore valore di riscatto della dignita' di una cultura storicamente emarginata, ma tuttora ben viva e fiera della sua tradizione. Va tuttavia osservato che la scarsa disponibilita` di materiali didattici adeguati richiede l'elaborazione di materiali ex-novo. Le proprieta` visuali e tattili dell'aritmetica Maya sembrano infine poter trovare l'impiego piu` felicemente utile nell'apprendimento della matematica in condizione di inabilita' sensoriale. Occorre qui pensare simultaneamente alla formazione degli insegnanti e al progetto di materiali didattici adeguati, in base ai risultati dell'esperienza fatta sinora. Riferimenti Caldero'n, H. M., "La Ciencia Matema'tica de los Mayas", Editoria'l Orion, Me'xico, D.F., 1966. De Gasperi, M., Attualita` dell'aritmetica Maya, "Il Novecento", Edizioni Sapere, Dicembre 1994 (pp. 9-11). Ifrah, G., "Les chiffres ou L'histoire d'une grande invention", Laffont, Paris, 1985. Radelli, B., Propuesta para la enumeracio'n en el k'iche' de Totonicapa'n, "Nu'meros Maya K'iche'", Cuadernos de la Biblioteca, 1, INAH, Me'xico, 1995 (pp. 17-43).