Corsi di Calcolo Numerico per il primo triennio
Durante il primo trienno si ritiene opportuno inserire tre moduli di metodi
numerici.
Il primo, obbligatorio per tutti gli indirizzi, contiene gli elementi
del calcolo numerico necessari al bagaglio culturale di chi intraprende
una disciplina scientifica. In particolare vengono trattati i problemi
legati alla aritmetica in floating point, i metodi per la risoluzione
di sistemi di equazioni algebriche lineari, interpolazione ed approssimazione
in una dimensione, metodi per la risoluzione di equazioni non lineari,
e formule di quadratura.
Prerequisiti: algebra delle matrici, calculus.
Il secondo modulo, obbligatorio per tutti gli altri indirizzi, riguarda
prncipalmente i metodi numerici per la risoluzione di problemi ai valori
iniziali e al contorno per sistemi di equazioni differenziali ordinarie,
ed i metodi iterativi per la risoluzione di sistemi algebrici lineari.
Prerequisiti: funzioni di piu variabili, equazioni differenziali ordinarie.
Il terzo modulo, obbligatorio per l'indirizzo industriale-ingegneristico,
e consigliato a chi sia interessato alle applicazioni della matematica,
riguarda i metodi per la risoluzione di grossi sistemi di equazioni sparsi,
con applicazioni alla soluzione di problemi ellittici, metodi per l'ottimizzazione
continua, soluzione di sistemi di equazioni non lineari, metodi per
equazioni alle derivate parziali e metodi veloci basati sulla fast fourier
transform.
Prerequisiti: serie e trasformate di Fourier, funzioni di variabile
complessa, equazioni alle derivate parziali (cenni).
Calcolo Numerico I (6 crediti)
Analisi degli errori:
Rappresentazione dei numeri reali in una data base. Rappresentazione
in virgola mobile. I numeri di macchina. Troncamento ed arrotondamento.
Operazioni di macchina. Propagazione degli errori. Condizionamento dei
problemi e stabilità degli algoritmi.
Algebra lineare numerica:
Vettori, matrici e loro proprietà. Norme. Autovalori e raggio
spettrale. Relazioni fra norme e raggio spettrale. Classi di matrici particolari
(matrici hermitiane, definite positive, ecc.). Metodi diretti per la risoluzione
dei sistemi lineari: sistemi triangolari, metodo di eliminazione di Gauss,
pivoting. Fattorizzazioni LU ed RRH. Metodi compatti di Crout, Doolittle
e Cholesky. Condizionamento di un sistema lineare. Numeri di condizionamento.
Localizzazione degli autovalori nel piano complesso. Metodo delle potenze
e delle potenze inverse per la determinazione di autovalori ed autovettori
di matrici.
Interpolazione ed approssimazione:
Calcolo di un polinomio algebrico in un punto. Interpolazione polinomiale.
Forma di Lagrange. Operatore lineare di interpolazione. Il resto dell'interpolazione.
Polinomi di Cebicev: formula ricorsiva, zeri, proprietà di minima
norma. Calcolo del polinomi di interpolazione. Formula di Newton delle
differenze divise. Cenni sul problema della
convergenza di schemi interpolatori. Interpolazione mediante polinomi
a tratti. Funzioni spline. Calcolo delle spline cubiche. Teoria della approssimazione
in spazi normati. Metodo dei minimi quadrati e applicazioni.
Soluzione di equazioni non lineari:
Concetti generali. Metodi di bisezione, delle corde, regula falsi,
delle secanti, delle tangenti. Teoria generale dei metodi iterativi per
equazioni non lineari. Ordine di convergenza. Criteri d'arresto.
Formule di quadratura:
Forma generale di una fomula. Ordine polinomiale. Formule interpolatorie.
Teorema di convergenza. Formule di Newton-Cotes. Formule Gaussiane. Stima
empirica
dell'errore. Formule composite: trapezi e Simpson. Metodo di Romberg.
Quadratura adattiva.
Rudimenti sull'utilizzo del Matlab:
Manipolazione di matrici, uso del Matlab per problemi di interpolazione,
equazioni non lineari e calcolo di integrali, grafici di dati e funzioni
di una variabile.
Bibliografia
1.V.Comincioli, Analisi Numerica: metodi, modelli,
applicazioni, McGraw-Hill, Milano, 1990.
2.G. Monegato, Calcolo Numerico, Levrotto e Bella,
Torino, 1985.
3.A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, Matematica
Numerica, Springer Italia, Milano, 1998.
4. The student edition of Matlab, Version 5, The
MathWorks Inc., 1997.
Calcolo Numerico II (6 crediti)
Equazioni alle differenze.
Modelli discreti. Equazioni alle differenze: definizioni preliminari.
Potenze fattoriali. Equazioni alle differenze lineari del primo ordine
a coefficienti costanti. Equazioni omogenee e non omogenee. Polinomio caratteristico.
Esempi ed applicazioni. Stabilità delle soluzioni delle equazioni
alle differenze. Polinomi di Shur e di von Neumann. Funzioni di matrici.
Polinomio minimale.
Metodi numerici per le equazioni differenziali ordinarie
Problemi ai valori iniziali. Richiami di teoria sulle equazioni differenziali
ordinarie (esistenza, unicità e dipendenza continua dai dati). Metodo
di Eulero in avanti e all'indietro.
Metodi ad un passo. Convergenza, consistenza e stabilità. Teorema
di convergenza per medodi ad un passo. Metodi di Runge-Kutta. Condizioni
sull'ordine dei metodi R-K.
Relazione fra il numero di livelli ed il massimo ordine. Metodi
espliciti ed impliciti. Metodi di collocazione. Controllo automatico del
passo. A-stabilità dei metodi R-K. Metodi multistep. Stabilità
dei metodi multistep. 0-stabilità e A-stabilità. Dettagli
sulla implementazione dei metodi. Scelta del metodo più adatto per
la risolizione di un sistema.
Problemi ai limiti Metodo di shooting e metodo alle differenze
finite. Esempio: trave elastica. Sistemi lineari tridiagonali. Richiami
sulle matrici: matrici non negative,
riducibili, a diagonale dominante, M-matrici. Metodi variazionali.
Metodi di Galerkin e di Ritz. Metodi agli elementi finiti (cenni). Metodi
spettrali (cenni).
Metodi itaretivi per la risoluzione di sistemi lineari.
Matrici convergenti. Matrici normali, unitarie, definite positive e
loro proprietà. Metodi iterativi. Teoria generale. Metodi di tipo
splitting : metodi di Jacobi, Gauss-Seidel,
metodo SOR.
Utilizzo del Matlab.
Il Matlab come linguaggio di programmazione. Uso del Matlab per la
risoluzione di sistemi di equazioni differenziali. Uso del manipolatore
simbolico.
Bibliografia
In aggiunta alla bibliografia consigliata per Calcolo Numerico I, suggeriamo:
1.E.Hairer, S.P.Norset, G.Wanner, Solving Ordinary
Differential Equations I, non stiff problems, Springer, 1980.
2.E.Hairer, G.Wanner, Solving Ordinary Differential
Equations II, stiff problem, Springer, 1980.
Calcolo Numerico III (6 crediti)
Sistemi lineari di grosse dimensioni.
Metodi di tipo gradiente. Metodo del gradiente coniugato. Considerazioni
pratiche sulla implementazione. Matrici sparse e loro rappresentazione.
Problema del precondizionamento. Confronto fra i diversi metodi.
Metodi numerici per equazioni ellitiche.
Problemi di Dirichlet e di Neumann per l'equazione di Poisson.
Discretizzazione alle differenze finite. Studio della convergenza. Soluzione
del sistema sparso mediante metodi diretti e metodi iterativi.
Metodi numerici per l'ottimizzazione
Sistemi di equazioni non-lineari. Metodo di Newton. Formulazione in
termini di ottimizzazione. Metodi di tipo gradiente. Programmazione lineare.
Metodo del simplesso. Programmazione non lineare. Metodo dei minimi quadrati
non-lineari. Algoritmo di Levenberg-Marquardt.
Medoti numerici per equazioni alle derivate parziali.
Equazione del calore. Metodo di Eulero esplicito ed implicito. Condizioni
di stabilità. Metodo di Crank-Nicolson. Singola equazione del primo
ordine. Metodo delle linee. Metodi di Lax-Friedrichs e di Lax-Wendroff.
Equazione modificata. Schemi dissipativi e dispersivi. Schemi conservativi.
Metodi veloci.
Richiami su serie e trasformate di Fourier. Soluzione di problemi mediante
trasformate. Metodi spettrali e pseudo-spettrali (cenni). Fast
Fourier Transform: algoritmo di Cooley e Tukey; applicazioni a problemi
ellittici, filtraggio digitale, calcolo di convoluzioni.
Programmazione in Matlab.
Uso delle funzioni di ottimizzazione. Visualizzazione di superfici
e grafica tridimensionale avanzata. Uso delle routines di FFT.
Bibliografia
In aggiunta alla bibliografia consigliata per Calcolo Numerico I e II,
suggeriamo:
1.Y. Saad, Iterative methods for sparse linear systems,
PWS publishing company, Boston, 1996.
2. R.D.Richtmyer and K.W.Morton, Difference methods
for initial value problems, J.Wiley, New York, 1967.
3. R.LeVeque, Numerical methods for conservation
laws, Birkhauser, Basilea, 1992.