Didattica (2002-2003)
Primo semestre
Analisi Numerica per Matematici
Secondo semestre
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| Analisi Numecica per Matematici |
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| Analisi Numerica per Informatici |
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| Temi di Analisi Numerica (SISSIS) |
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| Corso tematico in Metodi Numerici (SSC) |
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Analisi Numerica
Corso annuale.
Il corso presenta una introduzione ai metodi numerici, e costituisce
la base fondamentale per la ricerca di risposte quantitative a problemi
formulati in maniera matematica.
Esso è indirizzato agli studenti del terzo anno di Matematica.
Il corso è costituito da lezioni ed esercitazioni di laboratorio.
Durante le lezioni vengono forniti i rudimenti del calcolo in virgola
mobile, si studiano i metodi per la risoluzione di sistemi lineari di equazioni
algebriche, si affrontano i problemi della interpolazione ed approssimazione
di funzioni, del calcolo di zeri di funzione e della approzzimazione di
intergrali mediante formule di quadratura. Nel secondo semestre verranno
trattati problemi di ottimizzazione, metodi probabilistici e metodi numerici
per la risoluzione di equazioni differenziali. Durante le esercitazioni
di laboratorio vengono forniti strumenti pratici per l'applicazione, mediante
l'uso del calcolatore, dei metodi studiati. In particolare, viene illustrato
come utilizzare il Matlab, un potente linguaggio di programmazione particolarmente
adatto al calcolo numerico, e vengoo sviluppati alcuni degli algoritmi
studiati a lezione.
Programma (preliminare) dei corsi
Analisi Numerica (primo semestre)
Introduzione all'uso del calcolatore.
Cenni del sistema windows. Utilizzo del Matlab: vettori e matrici,
grafica, matlab come linguaggio di programmazione, funzioni di input e
output. Utilizzo di Matlab per calcoli simbolici: matlab symbolic. Rappresentazione
dei numeri reali in una data base. Rappresentazione in virgola mobile.
I numeri di macchina. Troncamento ed arrotondamento. Operazioni di macchina.
Propagazione degli errori.
Algebra lineare numerica.
Vettori, matrici e loro proprietà. Classi di matrici particolari.
Metodi diretti per la risoluzione dei sistemi lineari: sistemi triangolari,
metodo di eliminazione di Gauss, pivoting. Fattorizzazioni LU. Norme di
vettore e di matrice. Condizionamento di un sistema lineare. Numeri di
condizionamento. Autovalori e raggio spettrale (cenni).
Approssimazione di funzioni e dati.
Interpolazione polinomiale. Forma di Lagrange. Operatore lineare di
interpolazione. Calcolo del polinomi di interpolazione. Formula di Newton
delle differenze divise. Il resto dell'interpolazione. Polinomi di Cebicev:
formula ricorsiva, zeri, proprietà di minima norma. Interpolazione
mediante polinomi a tratti. Funzioni spline. Calcolo delle spline
cubiche. Metodo dei minimi quadrati e applicazioni. Equazioni normali e
metodo QR.
Soluzione di equazioni non lineari.
Concetti generali. Metodi di bisezione, metodo di Newton. delle tangenti.
Teoria generale dei metodi iterativi per equazioni non lineari e problemi
di punto fisso. Le funzioni Matlab fzero e roots. Minimi e massimi di funzioni.
Metodo della sezione aurea. La funzione Matlab fmin.
Formule di quadratura.
Forma generale di una fomula. Ordine polinomiale. Formule interpolatorie.
Teorema di convergenza. Formule di Newton-Cotes. Formule Gaussiane. Formule
composite: trapezi e Simpson. Metodo di Romberg. Quadratura adattiva. Funzioni
rapidamente oscillanti. Integrazione in più dimensioni.
Analisi Numerica (Secondo semestre)
Approfondimenti e cenni di ottimizzazione.
Sistemi sparsi. Metodi di Krylov. Approssimazione con polinomi trigonometrici.
Curve di Bezier e B-Splines. Cenni di ottimizzazione. Metodi di tipo gradiente.
Metodi probabilistici.
Rudimenti di probabilità. Variabili aleatorie. Variabili discrete
e continue. Stimatori. Campionamento di distribuzioni monovariate, continue
e discrete. Tecnica di reiezione. Distribuzioni multivariate. Calcolo di
integrali. Applicazioni: un problema di potenziale ed un problema di illuminazione.
Metodi numerici per le equazioni differenziali ordinarie.
Problemi ai valori iniziali. Richiami di teoria sulle equazioni differenziali
ordinarie (esistenza, unicità e dipendenza continua dai dati). Metodo
di Eulero in avanti e all'indietro. Metodi ad un passo. Convergenza, consistenza
e stabilità. Teorema di convergenza per medodi ad un passo. Metodi
di Runge-Kutta. Metodi di collocazione. Controllo automatico del passo.
Metodi multistep. Problemi stiff e stabilità. A-stabilità.
Integrazione di equazioni differenziali con Matlab. Applicazioni.
Bibliografia
Il libro di testo consiglato per il corso è il seguente:
G.Naldi, L.Pareschi, G.Russo, Introduzione al calcolo scientifico,
McGraw-Hill, 2001.
Ulteriori approfondimenti si trovano sui testi:
V.Comincioli, Analisi Numerica: metodi, modelli, applicazioni, McGraw-Hill,
Milano, 1990.
G. Monegato, Calcolo Numerico, Levrotto e Bella, Torino, 1985.
A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, Matematica Numerica, Springer
Italia, Milano, 1998.
E.Hairer, S.P.Norset, G.Wanner, Solving Ordinary Differential Equations
I, non stiff problems, Springer, 1980.
E.Hairer, G.Wanner, Solving Ordinary Differential Equations II,
stiff problem, Springer, 1980.
Preparazione di esperienze didattiche - Corso SISSIS
(in preparazione)
Corso semestrale. Svolgimento: secondo semestre
Per eventuali richieste e/o chiarimenti contattare il docente per email
all'idirizzo
russo@dmi.unict.it