Didattica (2000-2001)
Analisi Numerica
Corso annuale.
Il corso presenta una introduzione ai metodi numerici, e costituisce
la base fondamentale per la ricerca di risposte quantitative a problemi
formulati in maniera matematica.
Esso è indirizzato agli studenti del terzo anno di Matematica.
Il corso è costituito da lezioni ed esercitazioni di laboratorio.
Durante le lezioni vengono forniti i rudimenti del calcolo in virgola
mobile, si studiano i metodi per la risoluzione di sistemi lineari di equazioni
algebriche, si affrontano i problemi della interpolazione ed approssimazione
di funzioni, del calcolo di zeri di funzione e della approzzimazione di
intergrali mediante formule di quadratura. Durante le esercitazioni di
laboratorio vengono forniti strumenti pratici per l'applicazione, mediante
l'uso del calcolatore, dei metodi studiati. In particolare, viene illustrato
come utilizzare il Matlab, un potente linguaggio di programmazione particolarmente
adatto al calcolo numerico, e vengoo sviluppati alcuni degli algoritmi
studiati a lezione.
Analisi Numerica II
Corso semestrale. Svolgimento: secondo semestre.
Il corso rappresenta la prosecuzione naturale del corso di Analisi Numerica
I. Esso è indirizzato agli studenti del terzo anno di Matematica,
in particolare per l'indirizzo applicativo, ed agli studenti del quarto
anno di Informatica.
| Orario lezioni |
|
| Orario di ricevimento: |
da definire |
| Date esami |
|
| Modalità d'esame: |
L'esame consiste nello svolgimento di un progetto ed in una prova orale |
| Programma del corso: |
Gli argomenti trattati riguardano principalmente le equazioni
alle differenze, i metodi numerici per equazioni differenziali ordinarie,
i metodi iterativi per la soluzione di sistemi di equazioni lineari.
[Programma dettagliato] |
Metodi d'Approssimazione
Il corso, indirizzato a studenti di Informatica, di Matematica, e ad eventuali
studenti di Fisica interessati all'argomento, si propone di offrire una
panoramica di modelli matematici e dei metodi numerici per la soluzione
delle relative equazioni, in svariati settori della Matematica Applicata.
Esso è suddiviso in due moduli, il primo devoluto maggiormente
all'aspetto modellistico, mentre il secondo indirizzato prevalentemente
allo studio delle metodologie numeriche.
E' possibile effettuare l'esame solo sul primo modulo.
| Orario lezioni |
|
| Orario di ricevimento: |
da definire |
| Date esami |
|
| Modalità d'esame: |
L'esame consiste in un progetto ed una prova orale.
Le prove orali dei due moduli possono essere effettuate separatamente. |
| Programma del corso: |
(Il programma potrà subire delle variazioni, in dipendenza dalle
esigenze culturali degli studenti.) |
| Primo modulo: |
Modelli matematici retti da equazioni differenziali ordinarie.Comportamento
qualitativo e quantitativo delle soluzioni. Strumenti computazionali. Fenomeni
stazionari, diffusivi e di propagazione ondosa. Gasdinamica.
[Programma dettagliato] |
| Secondo modulo: |
Metodi numerici per problemi ellittici, parabolici ed iperbolici. Fluidodinamica
computazionale.
[Programma dettagliato] |
Calcolo Numerico I - Diploma Universitario
Scienze dei Materiali
Corso semestrale. Svolgimento: primo semestre.
Il corso, indirizzato agli studenti del secondo anno del corso
di Diploma in Scienze dei materiali, presenta una introduzione ai metodi
numerici, ed all'uso del calcolatore per la risoluzione numerica di diversi
problemi di matematica, tra cui soluzione di sistemi di equazioni lineari,
interpolazione e approssimazione, calcolo di integrali e soluzione di equazioni
non lineari. Gli studenti avranno la possibilità di segure esercitazioni
di laboratorio, durante le quali apprenderanno alcuni rudimenti sull'uso
del calcolatore e su un linguaggio di programmazione.
Modalità d'esame: L'esame consiste in una prova orale
[Programma Esame]
Calcolo Numerico II - Diploma Universitario
Scienze dei Materiali
Corso semestrale. Svolgimento: secondo semestre.
Il corso rappresenta la prosecuzione naturale del corso di Calcolo
Numerico I per DUSM. Esso è indirizzato agli studenti del secondo
anno del corso di Diploma in Scienze dei materiali. Consiste in lezioni
ed esercitazioni di laboratorio. Durante il corso vengono trattati modelli
retti da sistemi di equazioni differenziali, e le relative tecniche per
la loro soluzione numerical. Durante le esercitazioni gli rudenti apprenderanno
ad utilizzare strumenti per la soluzione numerica di equazioni e per la
loro rappresentazione grafica su calcolatore.
Modalità d'esame: L'esame consiste in una prova orale
[Programma Esame]
Programma (preliminare) dei corsi
Analisi Numerica I
Analisi degli errori:
Rappresentazione dei numeri reali in una data base. Rappresentazione
in virgola mobile. I numeri di macchina. Troncamento ed arrotondamento.
Operazioni di macchina. Propagazione degli errori. Condizionamento dei
problemi e stabilità degli algoritmi.
Algebra lineare numerica:
Vettori, matrici e loro proprietà. Norme. Autovalori e raggio
spettrale. Relazioni fra norme e raggio spettrale. Classi di matrici particolari
(matrici hermitiane, definite positive, ecc.). Metodi diretti per la risoluzione
dei sistemi lineari: sistemi triangolari, metodo di eliminazione di Gauss,
pivoting. Fattorizzazioni LU ed RRH. Metodi
compatti di Crout, Doolittle e Cholesky. Condizionamento di un sistema
lineare. Numeri di condizionamento. Localizzazione degli autovalori nel
piano complesso. Metodo delle potenze e delle potenze inverse per la determinazione
di autovalori ed autovettori di matrici.
Interpolazione ed approssimazione:
Calcolo di un polinomio algebrico in un punto. Interpolazione polinomiale.
Forma di Lagrange. Operatore lineare di interpolazione. Il resto dell'interpolazione.
Polinomi di Cebicev: formula ricorsiva, zeri, proprietà di minima
norma. Calcolo del polinomi di interpolazione. Formula di Newton delle
differenze divise. Cenni sul problema della convergenza di schemi interpolatori.
Interpolazione mediante polinomi a tratti. Funzioni spline. Calcolo
delle spline cubiche. Teoria della approssimazione in spazi normati.
Metodo dei minimi quadrati e applicazioni.
Soluzione di equazioni non lineari:
Concetti generali. Metodi di bisezione, delle corde, regula falsi,
delle secanti, delle tangenti. Teoria generale dei metodi iterativi per
equazioni non lineari. Ordine di convergenza. Criteri d'arresto. Metodo
di Newton per sistemi di equazioni non lineari (cenni)
Formule di quadratura:
Forma generale di una fomula. Ordine polinomiale. Formule interpolatorie.
Teorema di convergenza. Formule di Newton-Cotes. Formule Gaussiane. Stima
empirica dell'errore. Formule composite: trapezi e Simpson. Metodo di Romberg.
Quadratura adattiva.
Elementi di programmazione:
Rudimenti di unix. Il linguaggio Fortran77 (o linguaggio C). Implementazione
degli algoritmi in Fortan77 (o in C). Visualizzazione grafica delle soluzioni
mediante gnuplot.
Bibliografia
-
V.Comincioli, Analisi Numerica: metodi, modelli, applicazioni, McGraw-Hill,
Milano, 1990.
-
G. Monegato, Calcolo Numerico, Levrotto e Bella, Torino, 1985.
-
A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, Matematica Numerica, Springer
Italia, Milano, 1998.
Analisi Numerica II
Equazioni alle differenze.
Modelli discreti. Equazioni alle differenze: definizioni preliminari.
Potenze fattoriali. Polinomi e numeri di Bernoulli. Formula di Eulero-Mac
Laurin. Equazioni alle differenze lineari del primo ordine a coefficienti
costanti. Equazioni omogenee e non omogenee. Polinomio caratteristico.
Esempi ed applicazioni. Stabilità delle soluzioni delle equazioni
alle differenze. Polinomi di Shur e di von Neumann. Funzioni di matrici.
Polinomio minimale.
Metodi numerici per le equazioni differenziali ordinarie
Problemi ai valori iniziali. Richiami di teoria sulle equazioni differenziali
ordinarie (esistenza, unicità e dipendenza continua dai dati. Metodo
di Eulero in avanti e all'indietro. Metodi ad un passo. Convergenza, consistenza
e stabilità. Teorema di convergenza per medodi ad un passo. Metodi
di Runge-Kutta. Condizioni sull'ordine dei metodi R-K. Relazione fra il
numero di livelli ed il massimo ordine. Metodi espliciti ed impliciti.
Metodi di collocazione. Controllo automatico del passo. Stabilità.
A-, AN-, BN- e algebrica stabilità definizione e analisi.
Metodi multistep. Stabilità dei metodi multistep.
0-stabilità e A-stabilità. Dettagli sulla implementazione
dei metodi. Scelta del metodo più adatto per la risolizione di un
sistema.
Problemi ai limiti Metodo di shooting e metodo alle differenze
finite. Esempio: trave elastica. Sistemi lineari tridiagonali. Richiami
sulle matrici: matrici non negative,
riducibili, a diagonale dominante, M-matrici. Metodi variazionali.
Metodi di Galerkin e di Ritz. Metodi agli elementi finiti (cenni). Metodi
spettrali (cenni).
Metodi itaretivi per la risoluzione di sistemi lineari.
Matrici convergenti. Matrici normali, unitarie, definite positive e
loro proprietà. Metodi iterativi. Teoria generale. Metodi di tipo
splitting
: metodi di Jacobi, Gauss-Seidel, metodo SOR. Formulazione variazionale.
Metodi di tipo gradiente. Metodo del gradiente coniugato. Considerazioni
pratiche sulla implementazione. Matrici sparse e loro rappresentazione.
Problema del precondizionamento. Applicazioni alla risoluzione di problemi
ellittici.
Bibliografia
In aggiunta alla bibliografia consigliata per Analisi Numerica I, suggeriamo:
-
E.Hairer, S.P.Norset, G.Wanner, Solving Ordinary Differential Equations
I, non stiff problems, Springer, 1980.
-
E.Hairer, G.Wanner, Solving Ordinary Differential Equations II, stiff
problem, Springer, 1980.
Calcolo Numerico I per Diploma Universitario
Scienze dei Materiali - Programma A.A. 1999-2000.
Analisi degli errori:
Rappresentazione dei numeri reali in una data base. Rappresentazione
in virgola mobile. I numeri di macchina. Troncamento ed arrotondamento.
Operazioni di macchina. Stabilità degli algoritmi.
Algebra lineare numerica:
Vettori, matrici e loro proprietà. Norme. Numeri complessi.
Autovalori. Metodi diretti per la risoluzione dei sistemi lineari: sistemi
triangolari, metodo di eliminazione di Gauss, pivoting. FattorizzazioneLU.
Condizionamento di un sistema lineare (cenni). Significato degli autovalori
e calcolo mediante scilab o matlab.
Interpolazione ed approssimazione:
Interpolazione polinomiale. Forma di Lagrange. Interpolazione mediante
polinomi a tratti. Funzioni spline. Calcolo delle spline
mediante matlab o scilab. Visualizzazione grafica dei rusultati. Metodo
dei minimi quadrati ed applicazioni.
Soluzione di equazioni non lineari:
Concetti generali. Metodi di bisezione, delle corde, delle secanti,
delle tangenti. Rapidità di convegenza. Criteri d'arresto. Metodo
di Newton per sistemi di equazioni non lineari (cenni). Applicazioni al
calcolatore mediante scilab o matlab.
Formule di quadratura:
Forma generale di una fomula. Ordine polinomiale. Formule interpolatorie.
Formule di Newton-Cotes. Stima empirica dell'errore. Formule composite:
trapezi e Simpson.
Elementi di programmazione:
Rudimenti di unix. Il pacchetto scilab per calcoli numerici e
visualizzazione grafica delle soluzioni.
Bibliografia
-
G. Monegato, Calcolo Numerico, Levrotto e Bella, Torino, 1985.
-
G. Monegato, 100 pagine di ... elementi di calcolo numerico, Levrotto e
Bella, Torino.
-
The Student Edition of Matlab, Prentice Hall, 1997.
Calcolo Numerico II per Diploma Universitario
Scienze dei Materiali - Programma A.A. 1999-2000.
Equazioni alle differenze. Modelli discreti retti da equazioni alle
differenze. Operatori differenza e shift. Potenze fattoriali. Calcolo
di sommatorie. Formula di somma per parti. Equazioni alle differenze lineari
a coefficienti costanti e analogia con le equazioni differenziali.
Equazioni differenziali. Equazioni differenziali ordinarie.
Problema ai valori iniziali. Equazione differenziale lineare del primo
ordine. Sistemi di n equazioni differenziali lineari del primo ordine.
Sistemi lineari. Sistemi omogenei. Sistemi di equazioni differenziali lineari
a coefficienti costanti. Polinomio caratteristico ed autovalori. Applicazione:
moto del pendolo. Pendolo con smorzamento. Approssimazione lineare. Metodo
dei fasori. Pendolo forzato e condizione di risonanza.
Metodi numerici per equazioni differenziali. Metodo di Eulero
esplicito. Convergenza del metodo di Eulero. Errore locale di troncamento.
Metodo di Eulero implicito. Metodi di Heun e di Eulero generalizzato. Metodi
di Runge-Kutta a L livelli. Condizioni sull'ordine (cenni). A-stabilità
dei metodi Runge-Kutta. Determinazione della regione di assoluta stabilità
di alcuni metodi. Metodo di Newton per sistemi di equazioni non lineari
(cenni). Problemi ai limiti. Metodo alle differenze finite.
Strumenti di calcolo. Introduzione al Matlab. Operazioni sulle
matrici. Inversione di matrici, soluzione di sistemi lineari. Elementi
di programmazione in Matlab. Espressioni logiche. Functions e script
files. Soluzione numerica delle equazioni differenziali con Matlab.
Uso della grafica per la rappresentazione delle soluzioni. Uso del Maple
per il calcolo scientifico (cenni).
Bibliografia
-
G. Monegato, Calcolo Numerico, Levrotto e Bella, Torino, 1985.
-
The Student Edition of Matlab, Prentice Hall, 1997.
Metodi d'approssimazione
- modulo 1
Modelli matematici retti da sistemi di equazioni differenziali ordinarie.
Modelli
lineari: oscillatore armonico e catena di oscillatori lineari, oscillatori
forzati e smorzati. Risonanza e problema agli autovalori. Analogia con
i circuiti elettrici lineari. Modelli non-lineari: oscillatori non-lineari
(pendolo, oscillatore di van der Pol), problema degli n corpi, modello
preda-predatore di Lottka-Volterra, modello di Lorenz del moto convettivo.
Analisi dimensionale. Riduzione delle equazioni nella forma
adimensionale. Individuazione dei parametri adimensionali del modello.
Conseguenze della analisi dimensionale.
Comportamento delle soluzioni. Studio qualitativo del comportamento
delle soluzioni nel piano delle fasi. Punti di equilibrio. Stabilità
delle soluzioni. Stabilità lineare e metodo della funzione di Lyapounov.
Cicli limite ed attrattori. Biforcazione. Mappa logistica e comportamento
caotico. Comportamento caotico nei sistemi continui: il modello di Lorenz.
Metodi per la risoluzione di sistemi di equazioni differenziali ordinarie
(richiami e cenni). Scelta del metodo numerico per la risoluzione
delle equazioni.Un esempio di sistema stiff: l'oscillatore di van
der Pol.
Alcuni strumenti computazionali. Utilizzo del calcolatore. Richiami
sul sistema unix. Introduzione all'utilizzo del Maple e di scilab. Funzioni
principali di scilab (gestione delle matrici, grafica, integrazione di
sistemi di equazioni differenziali ordinarie). Scilab come linguaggio di
programmazione. interfacciamento con fortran e C. Programmazione
in fortran. Visualizzazione grafica con gnuplot. Librerie per il calcolo
numerico: Numerical Recipes e Netlib.
Modelli matematici retti da equazioni alle derivate parziali. Fenomeni
stazionari. Equazione di Poisson e di Laplace in elettrostatica.Fenomeni
di diffusione. Diffusione del calore, e legge di Fourier. Diffusione di
massa (legge di Fick). Relazione con la passeggiata aleatoria. Fenomeni
di propagazione. Equazione della corda vibrante. Equazione delle onde per
il campo elettromagnetico.
Richiami di teoria. Generalità sulle equazioni alle derivate
parziali. Nozione di problema ben posto. Classificazione delle equazioni.
Problema di Dirichlet e di Neumann per equazioni ellittiche. Problema ai
valori iniziali ed al contorno per equazioni di tipo parabolico.
Problema ai valori iniziali per equazioni di tipo iperbolico. La singola
equazione scalare. Equazione non lineare. Forma caratteristica e soluzioni
deboli.
Gasdinamica. Equazioni di bilancio di massa, quantità
di moto ed energia. Il problema della chiusura. Relazioni di Navier-Stokes-Fourier.
Equazioni di Eulero in una dimensione: onde semplici, onde d'urto e discontinuità
di contatto.
Metodi d'approssimazione
- modulo 2
Equazione del calore. Metodo di Eulero in avanti. Analisi della
stabilità: metodo di von Neuman. Metodi impliciti: schema di Eulero
all'indietro e di Crank-Nicholson. Sistemi tridiagonali.Equazioni del calore
con coefficienti variabili. Consistenza, convergenza e stabilità
dei metodi alle differenze finite per problemi ai valori iniziali. Teorema
di equivalenza di Lax (enunciato). Equazione del calore in più dimensioni.
Metodi a passi frazionari.
Sistemi iperbolici. Metodi alle differenze finite. Consistenza
e stabilità. Condizione di Courant-Friedrichs-Lewy e dominio di
dipendenza dai dati. Metodo di Lax-Friedrichs. Metodi upwind. Metodi
del primo ordine e del secondo ordine. Equazione modificata, dissipazione
e dispersione.
Argomento avanzato: verrà scelto fra i due seguenti:
Fluidodinamica computazionale.
Leggi di conservazione. Schemi conservativi. Condizioni di entropia.
Schemi upwind per sistemi lineari. Il problema di Riemann e gli
schemi di Godunov. Schemi di alto ordine. Schemi di Godunov generalizzati,
schemi di rilassamento e schemi centrali. Applicazioni alla gasdinamica.
Soluzione delle equazioni della gasdinamica, e loro visualizzazione grafica.
Fluidodinamica incomprimibile. Formulazione nelle variabili primitive.
Metodo di proiezione. Formulazione in varibili vorticity-stream function.
Metodo dei vortici.
Metodi numerici per equazioni cinetiche.
L'equazione di Boltzmann della gasdinamica rarefatta. Rilassamento
all'equilibrio: entropia, e teorema H. Metodi numerici per il trattamento
della equazione di Boltzmann omogenea. Metodo Monte Carlo. Recenti sviluppi.
Metodi spettrali (cenni).
Bibliografia
D.G.Luenberger, Introduction to dynamic systems: theory, models and applications,
J.Wiley, New York, 1979.
V.Comincioli, Analisi Numerica: metodi, modelli, applicazioni, McGraw-Hill,
Milano, 1990.
E.Hairer, S.P.Norset, G.Wanner, Solving Ordinary Differential Equations
I, non stiff problems, Springer, 1980.
E.Hairer, G.Wanner, Solving Ordinary Differential Equations II, stiff
problem, Springer, 1980.
W.H.Press, S.A.Teukolsky, W.T.Vetterling, B.P.Flannery, Numerical Recipes
in Fortran, Second edition, Cambridge University Press, 1992.
R.D.Richtmyer and K.W.Morton, Difference methods for initial value problems,
J.Wiley, New York, 1967.
R.LeVeque, Numerical methods for conservation laws, Birkhauser, Basilea,
1992.
R.Peyret and T.D.Taylor, Computational Methods for Fluid Flow.
Per eventuali richieste e/o chiarimenti contattare il docente per email
all'idirizzo
russo@univaq.it