Giovanni Russo
Didattica (2000-2001)
Analisi Numerica I
Corso semestrale. Svolgimento: primo semestre.
Il corso presenta una introduzione ai metodi numerici, e costituisce
la base fondamentale per la ricerca di risposte quantitative a problemi
formulati in maniera matematica.
Esso è indirizzato agli studenti del terzo anno di Matematica,
ed agli studenti del quarto anno di Informatica. Il corso è costituito
da lezioni ed esercitazioni di laboratorio.
Durante le lezioni vengono forniti i rudimenti del calcolo in virgola
mobile, si studiano i metodi per la risoluzione di sistemi lineari di equazioni
algebriche, si affrontano i problemi della interpolazione ed approssimazione
di funzioni, del calcolo di zeri di funzione e della approzzimazione di
intergrali mediante formule di quadratura. Durante le esercitazioni di
laboratorio vengono forniti strumenti pratici per l'applicazione, mediante
l'uso del calcolatore, dei metodi studiati. In particolare, vengono esposti
rudimenti di programmazione in un linguaggiod adatto al calcolo numerico,
e sviluppati alcuni degli algoritmi studiati a lezione.
Analisi Numerica II
Corso semestrale. Svolgimento: secondo semestre.
Il corso rappresenta la prosecuzione naturale del corso di Analisi Numerica
I. Esso è indirizzato agli studenti del terzo anno di Matematica,
in particolare per l'indirizzo applicativo, ed agli studenti del quarto
anno di Informatica.
| Orario lezioni |
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| Orario di ricevimento: |
da definire |
| Date esami |
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| Modalità d'esame: |
L'esame consiste nello svolgimento di un progetto ed in una prova orale |
| Programma del corso: |
Gli argomenti trattati riguardano principalmente le equazioni
alle differenze, i metodi numerici per equazioni differenziali ordinarie,
i metodi iterativi per la soluzione di sistemi di equazioni lineari.
[Programma dettagliato] |
Programma (preliminare) dei corsi
Analisi Numerica I
Analisi degli errori:
Rappresentazione dei numeri reali in una data base. Rappresentazione
in virgola mobile. I numeri di macchina. Troncamento ed arrotondamento.
Operazioni di macchina. Propagazione degli errori. Condizionamento dei
problemi e stabilità degli algoritmi.
Algebra lineare numerica:
Vettori, matrici e loro proprietà. Norme. Autovalori e raggio
spettrale. Relazioni fra norme e raggio spettrale. Classi di matrici particolari
(matrici hermitiane, definite positive, ecc.). Metodi diretti per la risoluzione
dei sistemi lineari: sistemi triangolari, metodo di eliminazione di Gauss,
pivoting. Fattorizzazioni LU ed RRH. Metodi
compatti di Crout, Doolittle e Cholesky. Condizionamento di un sistema
lineare. Numeri di condizionamento. Localizzazione degli autovalori nel
piano complesso. Metodo delle potenze e delle potenze inverse per la determinazione
di autovalori ed autovettori di matrici.
Interpolazione ed approssimazione:
Calcolo di un polinomio algebrico in un punto. Interpolazione polinomiale.
Forma di Lagrange. Operatore lineare di interpolazione. Il resto dell'interpolazione.
Polinomi di Cebicev: formula ricorsiva, zeri, proprietà di minima
norma. Calcolo del polinomi di interpolazione. Formula di Newton delle
differenze divise. Cenni sul problema della convergenza di schemi interpolatori.
Interpolazione mediante polinomi a tratti. Funzioni spline. Calcolo
delle spline cubiche. Teoria della approssimazione in spazi normati.
Metodo dei minimi quadrati e applicazioni.
Soluzione di equazioni non lineari:
Concetti generali. Metodi di bisezione, delle corde, regula falsi,
delle secanti, delle tangenti. Teoria generale dei metodi iterativi per
equazioni non lineari. Ordine di convergenza. Criteri d'arresto. Metodo
di Newton per sistemi di equazioni non lineari (cenni)
Formule di quadratura:
Forma generale di una fomula. Ordine polinomiale. Formule interpolatorie.
Teorema di convergenza. Formule di Newton-Cotes. Formule Gaussiane. Stima
empirica dell'errore. Formule composite: trapezi e Simpson. Metodo di Romberg.
Quadratura adattiva.
Elementi di programmazione:
Rudimenti di unix. Il linguaggio Fortran77 (o linguaggio C). Implementazione
degli algoritmi in Fortan77 (o in C). Visualizzazione grafica delle soluzioni
mediante gnuplot.
Bibliografia
-
V.Comincioli, Analisi Numerica: metodi, modelli, applicazioni, McGraw-Hill,
Milano, 1990.
-
G. Monegato, Calcolo Numerico, Levrotto e Bella, Torino, 1985.
-
A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, Matematica Numerica, Springer
Italia, Milano, 1998.
Analisi Numerica II
Equazioni alle differenze.
Modelli discreti. Equazioni alle differenze: definizioni preliminari.
Potenze fattoriali. Polinomi e numeri di Bernoulli. Formula di Eulero-Mac
Laurin. Equazioni alle differenze lineari del primo ordine a coefficienti
costanti. Equazioni omogenee e non omogenee. Polinomio caratteristico.
Esempi ed applicazioni. Stabilità delle soluzioni delle equazioni
alle differenze. Polinomi di Shur e di von Neumann. Funzioni di matrici.
Polinomio minimale.
Metodi numerici per le equazioni differenziali ordinarie
Problemi ai valori iniziali. Richiami di teoria sulle equazioni differenziali
ordinarie (esistenza, unicità e dipendenza continua dai dati. Metodo
di Eulero in avanti e all'indietro. Metodi ad un passo. Convergenza, consistenza
e stabilità. Teorema di convergenza per medodi ad un passo. Metodi
di Runge-Kutta. Condizioni sull'ordine dei metodi R-K. Relazione fra il
numero di livelli ed il massimo ordine. Metodi espliciti ed impliciti.
Metodi di collocazione. Controllo automatico del passo. Stabilità.
A-, AN-, BN- e algebrica stabilità definizione e analisi.
Metodi multistep. Stabilità dei metodi multistep.
0-stabilità e A-stabilità. Dettagli sulla implementazione
dei metodi. Scelta del metodo più adatto per la risolizione di un
sistema.
Problemi ai limiti Metodo di shooting e metodo alle differenze
finite. Esempio: trave elastica. Sistemi lineari tridiagonali. Richiami
sulle matrici: matrici non negative,
riducibili, a diagonale dominante, M-matrici. Metodi variazionali.
Metodi di Galerkin e di Ritz. Metodi agli elementi finiti (cenni). Metodi
spettrali (cenni).
Metodi itaretivi per la risoluzione di sistemi lineari.
Matrici convergenti. Matrici normali, unitarie, definite positive e
loro proprietà. Metodi iterativi. Teoria generale. Metodi di tipo
splitting
: metodi di Jacobi, Gauss-Seidel, metodo SOR. Formulazione variazionale.
Metodi di tipo gradiente. Metodo del gradiente coniugato. Considerazioni
pratiche sulla implementazione. Matrici sparse e loro rappresentazione.
Problema del precondizionamento. Applicazioni alla risoluzione di problemi
ellittici.
Bibliografia
In aggiunta alla bibliografia consigliata per Analisi Numerica I, suggeriamo:
-
E.Hairer, S.P.Norset, G.Wanner, Solving Ordinary Differential Equations
I, non stiff problems, Springer, 1980.
-
E.Hairer, G.Wanner, Solving Ordinary Differential Equations II, stiff
problem, Springer, 1980.
Per eventuali richieste e/o chiarimenti contattare il docente per email
all'idirizzo
russo@univaq.it