Didattica (2002-2003)

Primo semestre

Analisi Numerica per Matematici

Secondo semestre

 
Analisi Numecica per Matematici (secondo semestre) 23/6 - 21/7 - 22/9 - 16/12

Analisi Numerica per Informatici (secondo semestre) 23/6 - 21/7 - 22/9 - 16/12
Temi di Analisi Numerica (SISSIS) da concordare
Corso tematico in Metodi Numerici (SSC) da concordare

Orario di ricevimento (unico per tutti i corsi): Martedì e Giovedì dalle 12 alle 14


Analisi Numerica.

Suddiviso in due moduli semestrali, il corso presenta una introduzione ai metodi numerici, e costituisce la base fondamentale per la ricerca di risposte quantitative a problemi formulati in maniera matematica.
Esso è indirizzato agli studenti del secondo anno di Matematica e di Informatica, ed è costituito da lezioni ed esercitazioni di laboratorio. Durante le lezioni vengono forniti i rudimenti del calcolo in virgola mobile, si studiano i metodi per la risoluzione di sistemi lineari di equazioni algebriche, si affrontano i problemi della interpolazione ed approssimazione di funzioni, del calcolo di zeri di funzione e della approzzimazione di intergrali mediante formule di quadratura. Nel secondo semestre verranno trattati problemi riguardanti i metodi iterativi per sistemi lineari sparsi, metodi probabilistici e metodi numerici per la risoluzione di equazioni differenziali. Durante le esercitazioni di laboratorio vengono forniti strumenti pratici per l'applicazione, mediante l'uso del calcolatore, dei metodi studiati. In particolare, viene illustrato come utilizzare il Matlab, un potente linguaggio di programmazione particolarmente adatto al calcolo numerico, e vengoo sviluppati alcuni degli algoritmi studiati a lezione.


Programma (preliminare) dei corsi

Analisi Numerica (primo semestre)

Introduzione all'uso del calcolatore.
Cenni del sistema windows. Utilizzo del Matlab: vettori e matrici, grafica, matlab come linguaggio di programmazione, funzioni di input e output. Utilizzo di Matlab per calcoli simbolici: matlab symbolic. Rappresentazione dei numeri reali in una data base. Rappresentazione in virgola mobile. I numeri di macchina. Troncamento ed arrotondamento. Operazioni di macchina. Propagazione degli errori.
Algebra lineare numerica.
Vettori, matrici e loro proprietà. Classi di matrici particolari. Metodi diretti per la risoluzione dei sistemi lineari: sistemi triangolari, metodo di eliminazione di Gauss, pivoting. Fattorizzazioni LU. Norme di vettore e di matrice. Condizionamento di un sistema lineare. Numeri di condizionamento. Autovalori e raggio spettrale (cenni).
Approssimazione di funzioni e dati.
Interpolazione polinomiale. Forma di Lagrange. Operatore lineare di interpolazione. Calcolo del polinomi di interpolazione. Formula di Newton delle differenze divise. Il resto dell'interpolazione. Polinomi di Cebicev: formula ricorsiva, zeri, proprietà di minima norma.  Interpolazione mediante polinomi a tratti. Funzioni spline. Calcolo delle spline cubiche. Metodo dei minimi quadrati e applicazioni. Equazioni normali e metodo QR.
Soluzione di equazioni non lineari.
Concetti generali. Metodi di bisezione, metodo di Newton. delle tangenti. Teoria generale dei metodi iterativi per equazioni non lineari e problemi di punto fisso. Le funzioni Matlab fzero e roots. Minimi e massimi di funzioni. Metodo della sezione aurea. La funzione Matlab fmin.
Formule di quadratura.
Forma generale di una fomula. Ordine polinomiale. Formule interpolatorie. Teorema di convergenza. Formule di Newton-Cotes. Formule Gaussiane. Formule composite: trapezi e Simpson. Metodo di Romberg. Quadratura adattiva. Funzioni rapidamente oscillanti. Integrazione in più dimensioni.

Analisi Numerica per Matematici e Informatici (Secondo semestre)

Approfondimenti e cenni di ottimizzazione [Matematici]
Metodi iterativi per sistemi lineari. Metodi di Jacobi, Gauss-Seidel, SOR per punti e per blocchi. Matrice di iterazione e condizioni di convergenza. Sistemi sparsi. Metodi di tipo gradiente per sistemi con matrice simmetrica definita positiva. Metodo del gradiente coniugato.
Formule di quadratura [Informatici]
Forma generale di una fomula. Ordine polinomiale. Formule interpolatorie. Teorema di convergenza. Formule di Newton-Cotes. Formule Gaussiane. Formule composite: trapezi e Simpson. Metodo di Romberg. Quadratura adattiva. Funzioni rapidamente oscillanti. Integrazione in più dimensioni.
Metodi probabilistici. [Matematici ed informatici]
Rudimenti di probabilità. Variabili aleatorie. Variabili discrete e continue. Stimatori. Campionamento di distribuzioni monovariate, continue e discrete. Tecnica di reiezione. Distribuzioni multivariate. Calcolo di integrali. Applicazioni: un problema di potenziale ed un problema di illuminazione.
Metodi numerici per le equazioni differenziali ordinarie. [Matematici ed informatici]
Problemi ai valori iniziali. Richiami di teoria sulle equazioni differenziali ordinarie (esistenza, unicità e dipendenza continua dai dati). Metodo di Eulero in avanti e all'indietro. Metodi ad un passo. Convergenza, consistenza e stabilità. Teorema di convergenza per medodi ad un passo. Metodi di Runge-Kutta. Metodi di collocazione. Controllo automatico del passo. Metodi multistep. Problemi stiff e stabilità. A-stabilità.
Integrazione di equazioni differenziali con Matlab. Applicazioni.

Bibliografia

Il libro di testo consiglato per il corso è il seguente:

G.Naldi, L.Pareschi, G.Russo, Introduzione al calcolo scientifico, McGraw-Hill, 2001.

Ulteriori approfondimenti si trovano sui testi:

  • V.Comincioli, Analisi Numerica: metodi, modelli, applicazioni, McGraw-Hill, Milano, 1990.
  • G. Monegato, Calcolo Numerico, Levrotto e Bella, Torino, 1985.
  • A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, Matematica Numerica, Springer Italia, Milano, 1998.
  • E.Hairer, S.P.Norset, G.Wanner, Solving Ordinary Differential Equations I, non stiff problems, Springer, 1980.
  • E.Hairer,  G.Wanner, Solving Ordinary Differential Equations II, stiff problem, Springer, 1980.

  • Temi d'Analisi Numerica - Corso SISSIS

    Corso breve (25 ore).

    Introdizione al Matlab.
    Operazioni elementari con vettori e matrici. Notazione degli indici. Soluzione di sistemi lineari con Matlab. Uso della grafica. I comandi plot e subplot. Script files e funzioni.Calcoli simbolici con Matlab.Rappresentazione dei numeri al calcolarore. Operazioni di macchina. Troncamento e arrotondamento. Cancellazione numerica.
    Interpolazione e approssimazione
    Il problema dell'interpolazione polinomiale. Matrice di Vandermonde. Polinomio di Lagrange. Formula del resto. Definizione dei polinomi di Chebyshev.Proprieta' di minima norma dei polinomi di Chebyshev. Cenni al problema della convergenza di una successione di schemi interpolatori. Polinomio di migliore approssimazione uniforme e teorema di Weierstrass (enunciato). Comandi Matlab per l'interpolazione polinomiale: polyfit e polyval. Approssimazione nel senso dei minimi quadrati. Equazioni normali e loro interpretazione geometrica. Calcolo del polinomio in un punto. Formula di Hoerner-Ruffini. Formula di Newton delle differenze divise. Funzioni spline. Spline cubiche. Calcolo delle spline cubiche. Calcolo della spline con Matlab. Dati tipo 'struct'. Forma 'pp' dei polinomi
    Calcolo di integrali.
    Formule di quadratura. Ordine polinomiale di una formula di quadratura e relazione con le formule interpolatorie. Teorema generale di convergenza di una successione di formule di quadratura. Formule di Newton-Cotes. Formule gaussiane. Prodotto scalare in spazi funzionali. Polinomi ortogonali e loro determinazione. Formule composite. Quadratura adattiva. Formule di quadratura in più dimensioni. Calcolo di integrali con Matlab. Uso delle triangolazioni per l'approssimazione numerica di integrali in due dimensioni. Triangolazione di un insieme finito di punti del piano. Triangolazione di Delaunay. Proprieta' dei circoncentri. Diagramma di Voronoi. Costruzione di triangolazioni tramite Matlab.

    Libro di testo consiglato: G.Naldi, L.Pareschi, G.Russo, Introduzione al calcolo scientifico, McGraw-Hill, 2001.


    Corso tematico in Metodi Numerici

    Corso interno della Scuola Superiore per la Formazione di Eccellenza.

    Svolgimento: secondo semestre. Durata: 30 ore.

    Il corso rappresenta una breve introdiuzione ai metodi numerici. Indirizzato a studenti dei corsi di laurea in Ingegnerie e Fisica, ha l'obiettivo di presentare in forma sintetica, alcune idee fondamentali dell'arte dell'approssimazione numerica, quali accuratezza, robustezza ed efficienza dei metodi, e le tecniche di base per la soluzione di sistemi lineari, iterpolazione e approssimazione di funzioni, calcolo di integrali, e soluzioni di equazioni differenziali. Durante il corso viene fornita un'introduzione all'uso del Matlab.

    Programma (preliminare)

    Analisi degli errori
    Rappresentazione dei numeri al calcolarore. Operazioni di macchina. Troncamento e arrotondamento. Cancellazione numerica.
    Introduzione all'uso del Matlab
    Operazioni con matrici e vettori. Soluzione di sistemi lineari. La notazione degli indici. Operazioni vettoriali e per componenti. Comandi di grafica. Script e function files.
    Algebra lineare numerica
    Richiami di algebra lineare. Vettori e matrici. Determinanti. Autovalori. Norme di vettore e di matrice. Raggio spettrale e sue proprietà.Metodi diretti per la soluzione di sistemi lineari. Sistemi triangolari. Metodo di eliminazione di Gauss. Pivoting. Fattorizzazione LU. Fattorizzazione PA = LU. Metodi iterativi per la soluzione di sistemi lineari (cenni). Metodo del gradiente e metodo del gradiente coniugato (cenni). Condizionamento di un sistema lineare. Numero di condizionamento. Decomposizione in valori singolari (enunciato).
    Interpolazione ed approzzimazione
    Panoramica sulle diverse tecniche di interpolazione (polinomiale, trigonometrica, esponenziale, razionale). Interpolazione polinomiale. Matrice di Vandermonde. Polinomio di Lagrange. Formula del resto. Definizione dei polinomi di Chebyshev e loro proprietÓ di minima norma in C0 dei polinomi di Chebyshev. Polinomio di miglior aprossimazione uniforme e teorema di Weierstrass (enunciato). Problema della convergenza di una successione di schemi interpolatori (cenni). Calcolo del polinomio in un punto. Formula di Hörner-Ruffini. Formula di Newton delle differenze divise. Approssimazione polinomiale a tratti. Funzioni spline. Spline cubiche e loro significato meccanico. Calcolo delle spline cubiche. Funzioni Matlab per l'interpolazione polinomiale: le funzioni polyfit e polyval, e la funzione spline. Migliore approssimazione in L2: il metodo dei minimi quadrati. Equazioni normali e loro interpretazione geometrica.
    Metodi per equazioni non lineari
    Metodi di bisezione, delle corde e di Newton. Teoria generale sulla convergenza di metodi iterativi. Criteri d'arresto.
    Calcolo di integrali
    Formule di quadratura. Ordine polinomiale di una formula di quadratura e relazione con le formule interpolatorie. Teorema generale di convergenza di una successione di formule di quadratura. Formule di Newton-Cotes. Formule gaussiane. Prodotto scalare in spazi funzionali. Polinomi ortogonali e loro determinazione. Formule composite. Quadratura adattiva. Calcolo di integrali con Matlab.
    Metodi numerici per le equazioni differenziali ordinarie
    Problemi ai valori iniziali. Richiami di teoria sulle equazioni differenziali ordinarie (esistenza, unicità e dipendenza continua dai dati). Metodo di Eulero in avanti e all'indietro. Metodi ad un passo. Convergenza, consistenza e stabilità. Teorema di convergenza per medodi ad un passo. Metodi di Runge-Kutta. Metodi di collocazione. Controllo automatico del passo. Metodi multistep. Problemi stiff e stabilità. A-stabilità. Integrazione di equazioni differenziali con Matlab. Applicazioni.

    Bibliografia

    Il libro di testo consiglato per il corso è il seguente:

    G.Naldi, L.Pareschi, G.Russo, Introduzione al calcolo scientifico, McGraw-Hill, 2001.

    Ulteriori approfondimenti si trovano sui testi:



    Per eventuali richieste e/o chiarimenti contattare il docente per email all'idirizzo russo@dmi.unict.it
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