Analisi Numerica per Matematici
Analisi Numecica per Matematici (secondo semestre) | 23/6 - 21/7 - 22/9 - 16/12 | |
Analisi Numerica per Informatici (secondo semestre) | 23/6 - 21/7 - 22/9 - 16/12 | |
Temi di Analisi Numerica (SISSIS) | da concordare | |
Corso tematico in Metodi Numerici (SSC) | da concordare |
Orario di ricevimento (unico per tutti i corsi): Martedì e Giovedì dalle 12 alle 14
Suddiviso in due moduli semestrali, il corso presenta una introduzione
ai metodi numerici, e costituisce la base fondamentale per la ricerca di risposte
quantitative a problemi formulati in maniera matematica.
Esso è indirizzato agli studenti del secondo anno di Matematica e di
Informatica, ed è costituito da lezioni ed esercitazioni di laboratorio.
Durante le lezioni vengono forniti i rudimenti del calcolo in virgola mobile,
si studiano i metodi per la risoluzione di sistemi lineari di equazioni algebriche,
si affrontano i problemi della interpolazione ed approssimazione di funzioni,
del calcolo di zeri di funzione e della approzzimazione di intergrali mediante
formule di quadratura. Nel secondo semestre verranno trattati problemi riguardanti
i metodi iterativi per sistemi lineari sparsi, metodi probabilistici e metodi
numerici per la risoluzione di equazioni differenziali. Durante le esercitazioni
di laboratorio vengono forniti strumenti pratici per l'applicazione, mediante
l'uso del calcolatore, dei metodi studiati. In particolare, viene illustrato
come utilizzare il Matlab, un potente linguaggio di programmazione particolarmente
adatto al calcolo numerico, e vengoo sviluppati alcuni degli algoritmi studiati
a lezione.
Approfondimenti e cenni di ottimizzazione [Matematici]
Metodi iterativi per sistemi lineari. Metodi di Jacobi, Gauss-Seidel, SOR per
punti e per blocchi. Matrice di iterazione e condizioni di convergenza. Sistemi
sparsi. Metodi di tipo gradiente per sistemi con matrice simmetrica definita
positiva. Metodo del gradiente coniugato.
Formule di quadratura [Informatici]
Forma generale di una fomula. Ordine polinomiale. Formule interpolatorie. Teorema
di convergenza. Formule di Newton-Cotes. Formule Gaussiane. Formule composite:
trapezi e Simpson. Metodo di Romberg. Quadratura adattiva. Funzioni rapidamente
oscillanti. Integrazione in più dimensioni.
Metodi probabilistici. [Matematici ed informatici]
Rudimenti di probabilità. Variabili aleatorie. Variabili discrete e continue.
Stimatori. Campionamento di distribuzioni monovariate, continue e discrete.
Tecnica di reiezione. Distribuzioni multivariate. Calcolo di integrali. Applicazioni:
un problema di potenziale ed un problema di illuminazione.
Metodi numerici per le equazioni differenziali ordinarie. [Matematici ed
informatici]
Problemi ai valori iniziali. Richiami di teoria sulle equazioni differenziali
ordinarie (esistenza, unicità e dipendenza continua dai dati). Metodo
di Eulero in avanti e all'indietro. Metodi ad un passo. Convergenza, consistenza
e stabilità. Teorema di convergenza per medodi ad un passo. Metodi di
Runge-Kutta. Metodi di collocazione. Controllo automatico del passo. Metodi
multistep. Problemi stiff e stabilità. A-stabilità.
Integrazione di equazioni differenziali con Matlab. Applicazioni.
G.Naldi, L.Pareschi, G.Russo, Introduzione al calcolo scientifico, McGraw-Hill, 2001.
Ulteriori approfondimenti si trovano sui testi:
Corso breve (25 ore).
Introdizione al Matlab.
Operazioni elementari con vettori e matrici. Notazione degli indici. Soluzione
di sistemi lineari con Matlab. Uso della grafica. I comandi plot e subplot.
Script files e funzioni.Calcoli simbolici con Matlab.Rappresentazione dei numeri
al calcolarore. Operazioni di macchina. Troncamento e arrotondamento. Cancellazione
numerica.
Interpolazione e approssimazione
Il problema dell'interpolazione polinomiale. Matrice di Vandermonde. Polinomio
di Lagrange. Formula del resto. Definizione dei polinomi di Chebyshev.Proprieta'
di minima norma dei polinomi di Chebyshev. Cenni al problema della convergenza
di una successione di schemi interpolatori. Polinomio di migliore approssimazione
uniforme e teorema di Weierstrass (enunciato). Comandi Matlab per l'interpolazione
polinomiale: polyfit e polyval. Approssimazione nel senso dei minimi quadrati.
Equazioni normali e loro interpretazione geometrica. Calcolo del polinomio in
un punto. Formula di Hoerner-Ruffini. Formula di Newton delle differenze divise.
Funzioni spline. Spline cubiche. Calcolo delle spline cubiche. Calcolo della
spline con Matlab. Dati tipo 'struct'. Forma 'pp' dei polinomi
Calcolo di integrali.
Formule di quadratura. Ordine polinomiale di una formula di quadratura e relazione
con le formule interpolatorie. Teorema generale di convergenza di una successione
di formule di quadratura. Formule di Newton-Cotes. Formule gaussiane. Prodotto
scalare in spazi funzionali. Polinomi ortogonali e loro determinazione. Formule
composite. Quadratura adattiva. Formule di quadratura in più dimensioni.
Calcolo di integrali con Matlab. Uso delle triangolazioni per l'approssimazione
numerica di integrali in due dimensioni. Triangolazione di un insieme finito
di punti del piano. Triangolazione di Delaunay. Proprieta' dei circoncentri.
Diagramma di Voronoi. Costruzione di triangolazioni tramite Matlab.
Libro di testo consiglato: G.Naldi, L.Pareschi, G.Russo, Introduzione al calcolo scientifico, McGraw-Hill, 2001.
Corso interno della Scuola Superiore per la Formazione di Eccellenza.
Svolgimento: secondo semestre. Durata: 30 ore.
Il corso rappresenta una breve introdiuzione ai metodi numerici. Indirizzato a studenti dei corsi di laurea in Ingegnerie e Fisica, ha l'obiettivo di presentare in forma sintetica, alcune idee fondamentali dell'arte dell'approssimazione numerica, quali accuratezza, robustezza ed efficienza dei metodi, e le tecniche di base per la soluzione di sistemi lineari, iterpolazione e approssimazione di funzioni, calcolo di integrali, e soluzioni di equazioni differenziali. Durante il corso viene fornita un'introduzione all'uso del Matlab.
Programma (preliminare)
Analisi degli errori
Rappresentazione dei numeri al calcolarore. Operazioni di macchina. Troncamento
e arrotondamento. Cancellazione numerica.
Introduzione all'uso del Matlab
Operazioni con matrici e vettori. Soluzione di sistemi lineari. La notazione
degli indici. Operazioni vettoriali e per componenti. Comandi di grafica. Script
e function files.
Algebra lineare numerica
Richiami di algebra lineare. Vettori e matrici. Determinanti. Autovalori.
Norme di vettore e di matrice. Raggio spettrale e sue proprietà.Metodi
diretti per la soluzione di sistemi lineari. Sistemi triangolari. Metodo di
eliminazione di Gauss. Pivoting. Fattorizzazione LU. Fattorizzazione PA = LU.
Metodi iterativi per la soluzione di sistemi lineari (cenni). Metodo del gradiente
e metodo del gradiente coniugato (cenni). Condizionamento di un sistema lineare.
Numero di condizionamento. Decomposizione in valori singolari (enunciato).
Interpolazione ed approzzimazione
Panoramica sulle diverse tecniche di interpolazione (polinomiale, trigonometrica,
esponenziale, razionale). Interpolazione polinomiale. Matrice di Vandermonde.
Polinomio di Lagrange. Formula del resto. Definizione dei polinomi di Chebyshev
e loro proprietà di minima norma in C0
dei polinomi di Chebyshev. Polinomio di miglior aprossimazione uniforme e teorema
di Weierstrass (enunciato). Problema della convergenza di una successione di
schemi interpolatori (cenni). Calcolo del polinomio in un punto. Formula di
Hörner-Ruffini. Formula di Newton delle differenze divise. Approssimazione
polinomiale a tratti. Funzioni spline. Spline cubiche e loro significato meccanico.
Calcolo delle spline cubiche. Funzioni Matlab per l'interpolazione polinomiale:
le funzioni polyfit e polyval, e la funzione spline.
Migliore approssimazione in L2: il
metodo dei minimi quadrati. Equazioni normali e loro interpretazione geometrica.
Metodi per equazioni non lineari
Metodi di bisezione, delle corde e di Newton. Teoria generale sulla
convergenza di metodi iterativi. Criteri d'arresto.
Calcolo di integrali
Formule di quadratura. Ordine polinomiale di una formula di quadratura e relazione
con le formule interpolatorie. Teorema generale di convergenza di una successione
di formule di quadratura. Formule di Newton-Cotes. Formule gaussiane. Prodotto
scalare in spazi funzionali. Polinomi ortogonali e loro determinazione. Formule
composite. Quadratura adattiva. Calcolo di integrali con Matlab.
Metodi numerici per le equazioni differenziali ordinarie
Problemi ai valori iniziali. Richiami di teoria sulle equazioni differenziali
ordinarie (esistenza, unicità e dipendenza continua dai dati). Metodo
di Eulero in avanti e all'indietro. Metodi ad un passo. Convergenza, consistenza
e stabilità. Teorema di convergenza per medodi ad un passo. Metodi di
Runge-Kutta. Metodi di collocazione. Controllo automatico del passo. Metodi
multistep. Problemi stiff e stabilità. A-stabilità.
Integrazione di equazioni differenziali con Matlab. Applicazioni.
G.Naldi, L.Pareschi, G.Russo, Introduzione al calcolo scientifico, McGraw-Hill, 2001.
Ulteriori approfondimenti si trovano sui testi: