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Lezioni di Analisi Matematica




I seguenti Capitoli sono parte di un testo di Analisi Matematica, che probabilmente non verrà mai pubblicato in questa forma estesa, ma che pongo qui a disposizione di tutti coloro (soprattutto studenti e giovani ricercatori) che hanno interesse per questa materia o che, loro malgrado, sono costretti a studiarla, come i miei "sfortunati" studenti ai quali buona parte di questo materiale è stato spiegato.
Ho cercato di affrontare ogni argomento conferendogli la stessa dignità e nella maniera più completa ed esauriente possibile, inserendo teoremi o loro dimostrazioni poco presenti nei testi tradizionali (per esempio, il Teorema di Kummer relativo alle serie numeriche, il Teorema di Kuhn-Tucker relativo alla ricerca di estremi vincolati, la dimostrazione del Teorema di Cambiamento di Variabili per l'integrale di Riemann per funzioni di più variabili, il Teorema di Brouwer e  molti altri). Ho incluso anche osservazioni e commenti, esempi svolti ed esercizi non standard, che possono, per questa ragione, essere maggiormente istruttivi. Quasi tutti i risultati presentati vengono dimostrati (a volte sconfinando anche in altri campi della Matematica, quali l'Algebra, la Topologia o l'Algebra Lineare); per molti, quelli che sono comunemente ritenuti i più importanti, ho fornito più dimostrazioni (per esempio, il Teorema di Borel-Heine, il Teorema di Dini sulle funzioni implicite e molti altri) nella speranza di riuscire così ad evidenziare aspetti diversi delle questioni trattate. Analogamente, alcuni esempi o esercizi sono stati svolti in più modi (a volte nell'ambito dello stesso capitolo, a volte in capitoli differenti), cercando così di sottolineare la possibilità di utilizzare strumenti diversi per risolvere lo stesso problema. Vi sono anche alcuni cenni a questioni e risultati di Analisi Funzionale tesi ad invitare il giovane lettore a studi di Analisi Matematica di livello più elevato.
Come si vede non tutti i capitoli sono ad oggi disponibili. Alla stesura di quelli mancanti sto attualmente lavorando, ma si tratta di un lavoro ancora lungo; per esempio, ho intenzione di presentare tre differenti maniere di introdurre (o di rappresentare) i numeri reali, dimostrandone poi l'equivalenza.
Anche i capitoli già scritti sono, in un certo senso, incompleti; infatti vorrei continuare ad inserire in essi nuovo materiale.
Ovviamente, quasi tutto il contenuto di queste pagine è già conosciuto. Per raccoglierlo mi sono servito, negli anni, di un gran numero di testi (alcuni molto recenti, altri decisamente meno), di appunti e compiti d'esame di colleghi italiani e non. Io ho contribuito con alcune nuove dimostrazioni di risultati noti, con alcuni esempi ed esercizi originali; ma la fatica maggiore è senz'altro stata quella di assemblare tutto questo materiale.
Spero che qualcuno tragga beneficio dalla lettura (e dallo studio ) di tali note.
Sono, infine, grato sin d'ora a chiunque voglia segnalare non solo eventuali errori, sicuramente presenti, ma anche risultati non contenuti nei capitoli seguenti, nuove dimostrazioni, esempi od esercizi nello spirito di quanto sopra detto.


Indice dei Capitoli



 
 
 
 
 
 
Alfabeto greco
1 - I  numeri  naturali,  interi  relativi,  razionali.
2 - I  numeri  reali.  Allineamenti  decimali.  Sezioni  di  Q.
3 - I  numeri  complessi.
4 - I  polinomi  in  R  e  in  C.
5 - Distanza  in  R  ed  in R2.  Successioni  di  numeri  reali  e  complessi.
(Distanza in R ed in R2  ed alcune nozioni ad essa legate, p.1 - Successioni e loro limiti, p.12 - Operazioni sui limiti di successioni, p.26 - Alcuni importanti teoremi, p.32 - Infinitesimi ed infiniti, p.40 - Alcuni limiti notevoli, p.42 - Minimo e massimo limite, p.50 - I Teoremi di Cesaro, p.58 - Cenni sulle successioni in C, p.65 - Un'osservazione sui campi (totalmente) ordinati, p.69 - Alcuni esempi ed esercizi, p.74)
6 - I  numeri  reali  come  classi  di  equivalenza  di  successioni  di  Cauchy  in  Q.
(L'insieme R' delle classi di equivalenza di successioni di Cauchy in Q, p.1 - R' è un campo toalmente ordinato, p.2 - Completezza secondo Dedekind di R', p.4)
7 - Serie  numeriche  in  R  ed  in  C.
(Il carattere di una serie, p.1 - Serie a termini di segno costante, p.7 - Maggiorazione dell'errore, p.20 - Convergenza assoluta. Proprietà commutativa. Proprietà associativa, p.22 - Serie del tipo  Sanbn, p.27 - Prodotto secondo Cauchy di due serie, p.32 - Alcuni esempi ed esercizi, p.40)
8 - Funzioni  reali  (complesse)  di  una  variabile  reale  (complessa).  Limiti.  Funzioni  continue.
9 - Funzioni  uniformemente  continue.
(Il concetto di uniforme continuità, p.1 - Quando la continuità implica l'uniforme continuità ?, p.2 - Condizioni necessarie per l'uniforme continuità, p.5)
10 - Calcolo  differenziale  per  funzioni  reali  di  una  variabile  reale .
(La definizione di derivata, p.1 - Derivabilità e continuità, p.2 - Significato geometrico del limite del rapporto incrementale, p.8 - Operazioni con le derivate, p.13 - Derivabilità delle funzioni composte. Derivabilità delle funzioni inverse, p.18 - Differenziabilità, p. 21 - Punti di estremo relativo. Teorema di Fermat, p. 23 - I teoremi di Rolle, Cauchy, Lagrange, p.26 - I teoremi di De L'Hopital, p.43 - La Formula di Taylor, p.49)
11 - Funzioni  convesse  di  una  variabile  reale.
(Funzioni convesse e loro caratterizzazioni, p.1 - Convessità e derivabilità, p.6 - Punti di flesso, p.10 - Derivabilità di funzioni convesse, p.13 - Alcune disuguaglianze, p.14 - Convessità locale, p.15 - Approssimazione di zeri, p. 17 - Studio di funzioni e loro grafici, p. 19)
12 - Integrazione  indefinita. 
(Integrale indefinito, p.1 - Proprietà dell'integrale indefinito, p.3 - Integrazione per parti, p.4 - Il primo Teorema di Integrazione per Sostituzione, p.9 - Il secondo Teorema di Integrazione per Sostituzione, p. 18 - Integrale indefinito di funzioni complesse di variabile reale, p.30)
13 - Integrazione  secondo  Riemann  per  funzioni  reali  (complesse)  di  una  variabile  reale.
(L'integrale di Riemann, p.1 - Proprietà dell'integrale di Riemann, p.10 - Il Teorema della Media e l'integrale definito, p. 17 - Il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale, p.22 - Significato geometrico dell'integrale di Riemann, p.30 - Le Formule di Wallis e Stirling, p.36 - Irrazionalità di  p , p.40 - Il Teorema di Lebesgue-Vitali, p. 41)
14 - Integrali  impropri  o  generalizzati.
(Integrali impropri di 1a specie, p.1 - Integrali impropri di 2a specie, p. 7 - Integrali impropri di 3 a specie, p. 14)
15 - Metodi  risolutivi  di  alcuni  tipi  di  equazioni  differenziali.
(Equazioni differenziali del primo ordine a variabili separabili, p.1 - Equazioni differenziali lineari del primo ordine a coefficienti non costanti, p.7 - Equazioni differenziali lineari di ordine n a coefficienti costanti, p.10 - Equazioni differenziali del primo ordine di Bernoulli, p.20 - Equazioni differenziali di tipo omogeneo del primo ordine, p.23)
16 - Successioni  di  funzioni.
(Convergenza puntuale (o semplice) e convergenza uniforme, p.1 - Conseguenze della convergenza uniforme, p.6 - Convergenza uniforme ed integrali impropri, p.13 - Condizioni sufficienti per la convergenza uniforme, p.17 - Alcuni esempi ed esercizi, p.22)
17 - Serie  di  funzioni.
(Serie di funzioni. Convergenza semplice ed uniforme, p.1 - Convergenza assoluta e totale, p.5 - Serie di potenze, p.15 - Calcolo del raggio di convergenza, p.23 - La serie delle derivate di una serie di potenze, p.25 - La serie di Taylor, p.29 - Alcuni sviluppi in serie di Mac Laurin, p.34 - Serie di Fourier, p.41 - Caratterizzazione della convergenza puntuale di una serie di Fourier, p.43 - La condizione di Dirichlet e la convergenza puntuale di una serie di Fourier, p.48 - Funzioni a variazione (totale) limitata e convergenza puntuale di una serie di Fourier, p.49 - Cenni allo studio della convergenza in media quadratica, p.52 - Alcune osservazioni finali ed esercizi, p.54)
18 - Spazi  metrici.  Spazi  normati.  Spazi  prehilbertiani.
(Spazi metrici, p.1 - Convergenza in spazi metrici, p.13 - Completamento di spazi metrici, p.27 - Spazi vettoriali (o lineari) metrici, p.30 - Compattezza, p.31 - Connessione, p.40 - Successioni e serie di funzioni, p.49 - Spazi di Banach, p.52 - Spazi di Hilbert, p.61 - Il Teorema di Stone-Weierstrass, p.71)
19 - Calcolo  differenziale  per  funzioni  vettoriali di  più  variabili  reali.
(Limiti, p.1 - Derivabilità e differenziabilità, p.10 - Derivabilità e differenziabilità delle funzioni composte, p.18 - Derivate e differenziali di ordine superiore, p.27 - Formula di Taylor, p.35 - Punti di estremo relativo ed assoluto, p.45 - Funzioni omogenee, p.65 - Derivabilità sulla frontiera, p.67)
20 - Funzioni  convesse  di  più  variabili  reali .
(Definizione di funzione convessa. Continuità, p.1 - Convessità delle funzioni differenziabili, p.5 - Derivabilità e differenziabilità delle funzioni convesse, p.15 - Un Teorema sulla convergenza uniforme di successioni di funzioni convesse, p.19)
21 - Funzioni  implicite.  Teoremi  di  inversione.  Estremi  vincolati.
(Funzioni implicite, p.1 - Esistenza e derivabilità di funzioni implicite. Caso scalare, p.2 -  Esistenza e derivabilità di funzioni implicite. Caso vettoriale, p.15 - Teoremi di inversione, p.25 - Estremi vincolati. Vincoli bilaterali, p.29 - Estremi vincolati. Vincoli unilaterali, p.48)
22 - Misura  di  Peano-Jordan. 
(La misura dei plurirettangoli di Rn secondo Peano-Jordan, p.1 - La misura di Peano-Jordan per gli insiemi limitati di Rn, p.5 - La misura di Peano-Jordan per gli insiemi non limitati di Rn, p.12 - Proprietà degli insiemi misurabili secondo Peano-Jordan e della misura di Peano-Jordan, p.13 - Successioni di insiemi, p.16 - Insiemi prodotto, p.18 - Insiemi non misurabili secondo Peano-Jordan, p.20)
23 - Integrazione  secondo  Riemann   per  funzioni  reali  (complesse)  di  più  variabili  reali. 
(L'integrale di Riemann per le funzioni di più variabili, p.1 - Proprietà dell'integrale di Riemann, p.5 - Significato geometrico dell'integrale di Riemann, p.8 - Il teorema di Riduzione, p.9 - Il Teorema di Cambiamento di Variabili, p.16 - Applicazione dei risultati precedenti ed esempi, p.34 - I teoremi di punto fisso di Brouwer e Schauder, p.43)
24 - Integrali  impropri.  Integrali  dipendenti  da  parametri.
(Integrali impropri, p.1 - Proprietà dell'integrale improprio, p.3 - Integrali dipendenti da parametri, p.13 - Integrali impropri dipendenti da parametri, p.18 - Applicazioni dei precedenti risultati ed esempi, p.20)
25 - Sistemi  di  equazioni  differenziali  ordinarie.  Teoria  generale.
(Sistemi di equazioni differenziali ordinarie. Problema di Cauchy ed Equazione Integrale di Volterra, p.1 - Il Teorema di Esistenza ed Unicità in piccolo, p.5 - Il Teorema di Peano, p.10 - Esistenza in grande, p.18 - Dipendenza continua della soluzione dai dati, p.26 - Un ulteriore risultato di unicità, p.29 - Equazioni Differenziali Ordinarie in Forma Implicita, p.33 - Risoluzione di alcuni tipi di equazioni differenziali, p.37)
26 - Sistemi  di  equazioni  differenziali  ordinarie  lineari.
27 - Curve  ed  integrali  curvilinei.  Forme  differenziali  lineari.
28 - Superfici  ed  integrali  superficiali.  Forme  differenziali  bilineari.
29 - Misura  di  Lebesgue  ed  integrale  di  Lebesgue.
30 - Introduzione  alla  teoria  delle  funzioni  complesse  di  variabile  complessa.